Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có cạnh $BC=3a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Biết cạnh $MN=\dfrac{9a\sqrt{2}}{5}$, tính tỉ số $\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{A.BMNC}}}.$
A. $\dfrac{10}{3}.$
B. $\dfrac{15}{7}.$
C. $\dfrac{16}{9}.$
D. $\dfrac{18}{7}.$
Ta có $\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}$ (1)
Lại có $S{{A}^{2}}=SM.SB$ và $S{{A}^{2}}=SN.SC$
$\Rightarrow SM.SB=SN.SC\Rightarrow \dfrac{SM}{SC}=\dfrac{SN}{SB}$
$\Rightarrow \Delta SMN\sim\Delta SCB\left( c-g-c \right)\Rightarrow \dfrac{SM}{SC}=\dfrac{SN}{SB}=\dfrac{MN}{CB}.$
Khi đó từ (1) $\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SC}.\dfrac{SN}{SB}=\dfrac{MN}{BC}.\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{M{{N}^{2}}}{B{{C}^{2}}}.$
Bài ra $MN=\dfrac{9a\sqrt{2}}{5}$ và $BC=3a\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{18}{25}\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\dfrac{18}{25}{{V}_{S.ABC}}$
$\Rightarrow {{V}_{A.BMNC}}={{V}_{S.ABC}}-{{V}_{S.AMN}}={{V}_{S.ABC}}-\dfrac{18}{25}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{7}{25}{{V}_{S.ABC}}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{A.BMNC}}}=\dfrac{18}{7}.$
A. $\dfrac{10}{3}.$
B. $\dfrac{15}{7}.$
C. $\dfrac{16}{9}.$
D. $\dfrac{18}{7}.$
Ta có $\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}=\dfrac{SM}{SB}.\dfrac{SN}{SC}$ (1)
Lại có $S{{A}^{2}}=SM.SB$ và $S{{A}^{2}}=SN.SC$
$\Rightarrow SM.SB=SN.SC\Rightarrow \dfrac{SM}{SC}=\dfrac{SN}{SB}$
$\Rightarrow \Delta SMN\sim\Delta SCB\left( c-g-c \right)\Rightarrow \dfrac{SM}{SC}=\dfrac{SN}{SB}=\dfrac{MN}{CB}.$
Khi đó từ (1) $\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SM}{SC}.\dfrac{SN}{SB}=\dfrac{MN}{BC}.\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{M{{N}^{2}}}{B{{C}^{2}}}.$
Bài ra $MN=\dfrac{9a\sqrt{2}}{5}$ và $BC=3a\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{18}{25}\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\dfrac{18}{25}{{V}_{S.ABC}}$
$\Rightarrow {{V}_{A.BMNC}}={{V}_{S.ABC}}-{{V}_{S.AMN}}={{V}_{S.ABC}}-\dfrac{18}{25}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{7}{25}{{V}_{S.ABC}}\Rightarrow \dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{A.BMNC}}}=\dfrac{18}{7}.$
Đáp án D.