Cho hình chóp $S . A B C$ có cạnh $B C = 3 a$ và $S A$ vuông góc với mặt...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C

có cạnh

B C = 3 a

và

S A

vuông góc với mặt phẳng

(A B C)

. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Biết cạnh

M N = \frac{9 a \sqrt{2}}{5}

, tính tỉ số

\frac{V_{S . A M N}}{V_{A . B M N C}} .

A.

\frac{10}{3} .

B.

\frac{15}{7} .

C.

\frac{16}{9} .

D.

\frac{18}{7} .

Ta có

\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A}{S A} . \frac{S M}{S B} . \frac{S N}{S C} = \frac{S M}{S B} . \frac{S N}{S C}

(1)
Lại có

S A^{2} = S M . S B

và

S A^{2} = S N . S C

\Rightarrow S M . S B = S N . S C \Rightarrow \frac{S M}{S C} = \frac{S N}{S B}

\Rightarrow Δ S M N \sim Δ S C B (c - g - c) \Rightarrow \frac{S M}{S C} = \frac{S N}{S B} = \frac{M N}{C B} .

Khi đó từ (1)

\Rightarrow \frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S C} . \frac{S N}{S B} = \frac{M N}{B C} . \frac{M N}{B C} = \frac{M N^{2}}{B C^{2}} .

Bài ra

M N = \frac{9 a \sqrt{2}}{5}

và

B C = 3 a \Rightarrow \frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C}} = \frac{18}{25} \Rightarrow V_{S . A M N} = \frac{18}{25} V_{S . A B C}

\Rightarrow V_{A . B M N C} = V_{S . A B C} - V_{S . A M N} = V_{S . A B C} - \frac{18}{25} V_{S . A B C} = \frac{7}{25} V_{S . A B C} \Rightarrow \frac{V_{S . A M N}}{V_{A . B M N C}} = \frac{18}{7} .

Đáp án D.

Cho hình chóp S.ABC có cạnh BC=3a và SA vuông góc với mặt...