Cho hình chóp S.ABC có các cạnh $SA=BC=3;\ SB=AC=4;\...

Đặt $SA=SB=a,SB=AC=b,SC=AB=c$.
Dựng hình chóp S.A'B'C' sao cho A, B, C lần lượt là trung điểm của B'C', C'A', A'B'.
Dễ thấy $\mathrm{\Delta }ABC$ đồng dạng với $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ theo tỉ số ${\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }ABC}}{S_{\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\Rightarrow V_{S.ABC}={\displaystyle \frac{1}{4}}.V_{S.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}$.
Ta có AB, BC, CA là các đường trung bình của tam giác A'B'C'.
$\Rightarrow A^{\prime }{B}^{\prime }=2AB=2c;B^{\prime }{C}^{\prime }=2BC=2a;A^{\prime }{C}^{\prime }=2AC=2b$.
$\Rightarrow \mathrm{\Delta }S{A}^{\prime }{B}^{\prime },\mathrm{\Delta }S{B}^{\prime }{C}^{\prime },\mathrm{\Delta }S{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ là các tam giác vuông tại S (tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy) $\Rightarrow S{A}^{\prime },S{B}^{\prime },S{C}^{\prime }$ đôi một vuông góc.
$V_{S.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{6}}.S{A}^{\prime }.S{B}^{\prime }.S{C}^{\prime }\Rightarrow V_{S.ABC}={\displaystyle \frac{1}{24}}.S{A}^{\prime }.S{B}^{\prime }.S{C}^{\prime }$.
Áp dụng định lí Pytago ta có: $\{\begin{array}{rl}& SA{{}^{\prime }}^2+SB{{}^{\prime }}^2=4c^2\\ & SB{{}^{\prime }}^2+SC{{}^{\prime }}^2=4a^2\\ & SA{{}^{\prime }}^2+SC{{}^{\prime }}^2=4b^2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& SA{{}^{\prime }}^2=2(b^2+c^2-a^2)\\ & SB{{}^{\prime }}^2=2(a^2+c^2-b^2)\\ & SC{{}^{\prime }}^2=2(a^2+b^2-c^2)\end{array}$.
$\Rightarrow V_{S.ABC}={\displaystyle \frac{1}{24}}.\sqrt{8(b^2+c^2-a^2)(a^2+c^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}={\displaystyle \frac{1}{6\sqrt{2}}}\sqrt{(b^2+c^2-a^2)(a^2+c^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}$.
Thay $a=3,b=4,c=2\sqrt{5}\Rightarrow V_{S.ABC}={\displaystyle \frac{\sqrt{390}}{4}}$.