Cho hình chóp S.ABC có các cạnh $SA=BC=3;\ SB=AC=4;\...

Đặt $SA=SB=a,SB=AC=b,SC=AB=c$.
Dựng hình chóp S.A'B'C' sao cho A, B, C lần lượt là trung điểm của B'C', C'A', A'B'.
Dễ thấy $\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta A'B'C'$ theo tỉ số $\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{{{S}_{\Delta ABC}}}{{{S}_{\Delta A'B'C'}}}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{4}.{{V}_{S.A'B'C'}}$.
Ta có AB, BC, CA là các đường trung bình của tam giác A'B'C'.
$\Rightarrow A'B'=2AB=2c;B'C'=2BC=2a;\ A'C'=2AC=2b$.
$\Rightarrow \Delta SA'B',\Delta SB'C',\Delta SC'A'$ là các tam giác vuông tại S (tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy) $\Rightarrow SA',SB',SC'$ đôi một vuông góc.
${{V}_{S.A'B'C'}}=\dfrac{1}{6}.SA'.SB'.SC'\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{24}.SA'.SB'.SC'$.
Áp dụng định lí Pytago ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& SA{{'}^{2}}+SB{{'}^{2}}=4{{c}^{2}} \\
& SB{{'}^{2}}+SC{{'}^{2}}=4{{a}^{2}} \\
& SA{{'}^{2}}+SC{{'}^{2}}=4{{b}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& SA{{'}^{2}}=2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}} \right) \\
& SB{{'}^{2}}=2\left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}} \right) \\
& SC{{'}^{2}}=2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right) \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{24}.\sqrt{8\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)}=\dfrac{1}{6\sqrt{2}}\sqrt{\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}} \right)}$.
Thay $a=3,b=4,c=2\sqrt{5}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{\sqrt{390}}{4}$.