Cho hình chóp $S . A B C$ có các cạnh bên $S A$ , $S B$ , $S C$ tạo với đáy...

The Professor · 21/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C

có các cạnh bên

S A

,

S B

,

S C

tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng

30^{o}

. Biết

A B = 5

,

B C = 8

,

A C = 7

, khoảng cách

d

từ điểm

A

đến mặt phẳng

(S B C)

bằng
A.

d = \frac{35 \sqrt{39}}{13}

.
B.

d = \frac{35 \sqrt{39}}{52}

.
C.

d = \frac{35 \sqrt{13}}{52}

.
D.

d = \frac{35 \sqrt{13}}{26}

.

Kẻ

S H ⊥ (A B C)

tại

H

.
Ta có

H A

,

H B

,

H C

lần lượt là hình chiếu vuông góc của

S A

,

S B

,

S C

lên

(A B C)

.
Theo giả thiết ta có

\hat{S A H} = \hat{S B H} = \hat{S C H} = 30^{0}

\Rightarrow Δ S A H = Δ S B H = Δ S C H

\Rightarrow H A = H B = H C

. Do đó

H

là tâm đường tròn ngoại tiếp

Δ A B C

.
Ta có

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} d (A, (S B C)) . S_{Δ S B C}

\Rightarrow d (A, (S B C)) = \frac{3 V_{S . A B C}}{S_{Δ S B C}}

,

(*)

.

p = \frac{A B + B C + A C}{2} = 10

\Rightarrow S_{Δ A B C} = \sqrt{p (p - A B) (p - B C) (p - A C)} = 10 \sqrt{3}

.

S_{Δ A B C} = \frac{A B . B C . A C}{4 R} \Rightarrow H A = R = \frac{A B . B C . A C}{4 S_{Δ A B C}} = \frac{7 \sqrt{3}}{3}

.

S H = A H . \tan 30^{0} = \frac{7}{3}

.

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S H . S_{Δ A B C} = \frac{70 \sqrt{3}}{9}

.

p = \frac{S B + S C + B C}{2} = \frac{26}{3}

\Rightarrow S_{Δ S B C} = \sqrt{p (p - S B) (p - S C) (p - B C)} = \frac{8 \sqrt{13}}{3}

.
Thế vào

(*)

ta được

d (A, (S B C)) = \frac{3 V_{S . A B C}}{S_{Δ S B C}} = \frac{\frac{70 \sqrt{3}}{3}}{\frac{8 \sqrt{13}}{3}} = \frac{35 \sqrt{39}}{52}

.

Đáp án B.

Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy...