Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có các cạnh bên $SA$, $SB$, $SC$ tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng ${{30}^{\text{o}}}$. Biết $AB=5$, $BC=8$, $AC=7$, khoảng cách $d$ từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng
A. $d=\dfrac{35\sqrt{39}}{13}$.
B. $d=\dfrac{35\sqrt{39}}{52}$.
C. $d=\dfrac{35\sqrt{13}}{52}$.
D. $d=\dfrac{35\sqrt{13}}{26}$.
Kẻ $SH\bot \left( ABC \right)$ tại $H$.
Ta có $HA$, $HB$, $HC$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $SA$, $SB$, $SC$ lên $\left( ABC \right)$.
Theo giả thiết ta có $\widehat{SAH}=\widehat{SBH}=\widehat{SCH}={{30}^{0}}$ $\Rightarrow \Delta SAH=\Delta SBH=\Delta SCH$ $\Rightarrow HA=HB=HC$. Do đó $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
Ta có ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}d\left( A,(SBC) \right).{{S}_{\Delta SBC}}$ $\Rightarrow d\left( A,(SBC) \right)=\dfrac{3{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}$, $\left( * \right)$.
$p=\dfrac{AB+BC+AC}{2}=10$ $\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\sqrt{p\left( p-AB \right)\left( p-BC \right)\left( p-AC \right)}=10\sqrt{3}$.
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{AB.BC.AC}{4R}\Rightarrow HA=R=\dfrac{AB.BC.AC}{4{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$.
$SH=AH.\tan {{30}^{0}}=\dfrac{7}{3}$.
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{70\sqrt{3}}{9}$.
$p=\dfrac{SB+SC+BC}{2}=\dfrac{26}{3}$ $\Rightarrow {{S}_{\Delta SBC}}=\sqrt{p\left( p-SB \right)\left( p-SC \right)\left( p-BC \right)}=\dfrac{8\sqrt{13}}{3}$.
Thế vào $\left( * \right)$ ta được $d\left( A,(SBC) \right)=\dfrac{3{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}=\dfrac{\dfrac{70\sqrt{3}}{3}}{\dfrac{8\sqrt{13}}{3}}=\dfrac{35\sqrt{39}}{52}$.
A. $d=\dfrac{35\sqrt{39}}{13}$.
B. $d=\dfrac{35\sqrt{39}}{52}$.
C. $d=\dfrac{35\sqrt{13}}{52}$.
D. $d=\dfrac{35\sqrt{13}}{26}$.
Kẻ $SH\bot \left( ABC \right)$ tại $H$.
Ta có $HA$, $HB$, $HC$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $SA$, $SB$, $SC$ lên $\left( ABC \right)$.
Theo giả thiết ta có $\widehat{SAH}=\widehat{SBH}=\widehat{SCH}={{30}^{0}}$ $\Rightarrow \Delta SAH=\Delta SBH=\Delta SCH$ $\Rightarrow HA=HB=HC$. Do đó $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
Ta có ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}d\left( A,(SBC) \right).{{S}_{\Delta SBC}}$ $\Rightarrow d\left( A,(SBC) \right)=\dfrac{3{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}$, $\left( * \right)$.
$p=\dfrac{AB+BC+AC}{2}=10$ $\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\sqrt{p\left( p-AB \right)\left( p-BC \right)\left( p-AC \right)}=10\sqrt{3}$.
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{AB.BC.AC}{4R}\Rightarrow HA=R=\dfrac{AB.BC.AC}{4{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$.
$SH=AH.\tan {{30}^{0}}=\dfrac{7}{3}$.
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{70\sqrt{3}}{9}$.
$p=\dfrac{SB+SC+BC}{2}=\dfrac{26}{3}$ $\Rightarrow {{S}_{\Delta SBC}}=\sqrt{p\left( p-SB \right)\left( p-SC \right)\left( p-BC \right)}=\dfrac{8\sqrt{13}}{3}$.
Thế vào $\left( * \right)$ ta được $d\left( A,(SBC) \right)=\dfrac{3{{V}_{S.ABC}}}{{{S}_{\Delta SBC}}}=\dfrac{\dfrac{70\sqrt{3}}{3}}{\dfrac{8\sqrt{13}}{3}}=\dfrac{35\sqrt{39}}{52}$.
Đáp án B.