Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $ABC$ là tam giác đều và cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, với $SA=\dfrac{a}{2}$. Góc tạo bởi mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng $30{}^\circ $. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$.
Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$.
Ta có:
♦ $AM\bot BC$ (do tam giác $ABC$ đều). $\left( 1 \right)$
♦ $SA\bot \left( ABC \right)$ (theo giả thiết). $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $SM\bot BC$ (theo định lí ba đường vuông góc).
Nên góc tạo bởi mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng góc $\widehat{SMA}$ $\Rightarrow \widehat{SMA}=30{}^\circ $.
Xét tam giác vuông $SMA$ có $\widehat{SMA}=30{}^\circ $ và $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ do đó ta có $\tan \widehat{SMA}=\dfrac{SA}{AM}$ $\Rightarrow AM=\dfrac{SA}{\tan \widehat{SMA}}$ $\Rightarrow AM=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{\tan 30{}^\circ }$ nên $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Trong tam giác vuông $ABM$ tại $M$ ta có $B{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}=A{{B}^{2}}$, mà $AB=2BM$ nên có $B{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}=4B{{M}^{2}}$ $\Rightarrow 3B{{M}^{2}}=A{{M}^{2}}$ $\Rightarrow BM=\dfrac{1}{\sqrt{3}}AM$ hay $\Rightarrow BM=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a}{2}$, do đó $\Rightarrow BC=a$
Diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{ABC}}=$ $\dfrac{1}{2}BC.AM$ $=\dfrac{1}{2}a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ $=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
Vậy thể tích của khối chóp $S.ABC$ là ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}$ $=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ $=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}$.
Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$.
Ta có:
♦ $AM\bot BC$ (do tam giác $ABC$ đều). $\left( 1 \right)$
♦ $SA\bot \left( ABC \right)$ (theo giả thiết). $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $SM\bot BC$ (theo định lí ba đường vuông góc).
Nên góc tạo bởi mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng góc $\widehat{SMA}$ $\Rightarrow \widehat{SMA}=30{}^\circ $.
Xét tam giác vuông $SMA$ có $\widehat{SMA}=30{}^\circ $ và $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ do đó ta có $\tan \widehat{SMA}=\dfrac{SA}{AM}$ $\Rightarrow AM=\dfrac{SA}{\tan \widehat{SMA}}$ $\Rightarrow AM=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{\tan 30{}^\circ }$ nên $AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Trong tam giác vuông $ABM$ tại $M$ ta có $B{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}=A{{B}^{2}}$, mà $AB=2BM$ nên có $B{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}=4B{{M}^{2}}$ $\Rightarrow 3B{{M}^{2}}=A{{M}^{2}}$ $\Rightarrow BM=\dfrac{1}{\sqrt{3}}AM$ hay $\Rightarrow BM=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a}{2}$, do đó $\Rightarrow BC=a$
Diện tích tam giác $ABC$ là ${{S}_{ABC}}=$ $\dfrac{1}{2}BC.AM$ $=\dfrac{1}{2}a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ $=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
Vậy thể tích của khối chóp $S.ABC$ là ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}$ $=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ $=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
Đáp án B.