Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều, SA vuông góc với đáy...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều, SA vuông góc với đáy và góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABC) bằng

60^{\circ}

. Biết diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng

\frac{13 π a^{2}}{3}

. Khi đó thể tích V của khối chóp S.ABC bằng bao nhiêu?
A.

V = \frac{3 a^{3}}{4}

B.

V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}

C.

V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{2}

D.

V = \frac{a^{3}}{4}

Ta có diện tích mặt cầu

S_{m c} = 4 π R_{c}^{2} \Rightarrow R_{c}^{2} = \frac{S_{m c}}{4 π} = \frac{\frac{13 π a^{2}}{3}}{4 π} = \frac{13 a^{2}}{12}

(*).
Gọi

R_{d}

là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy.
Đặt

A B = x \Rightarrow {\begin{aligned} S A = A C \tan 60^{\circ} = x \sqrt{3} \\ R_{d a y} = \frac{x \sqrt{3}}{3} \end{aligned}

.
Áp dụng mô hình 1 (cạnh bên vuông góc với mặt đáy)

Ta có:

R_{c} = \sqrt{R_{d a y}^{2} + {(\frac{S A}{2})}^{2}} \Leftrightarrow R_{c}^{2} = R_{d a y}^{2} + {(\frac{S A}{2})}^{2} = {(\frac{x \sqrt{3}}{3})}^{2} + {(\frac{x \sqrt{3}}{2})}^{2} = \frac{13 x^{2}}{12}

(2*).
Từ (*) và (2*), suy ra:

x = a \Rightarrow {\begin{aligned} S A = a \sqrt{3} \\ S_{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \end{aligned}

.
Khi đó

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C} = \frac{a^{3}}{4}

.

Đáp án D.