Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều, SA vuông góc với đáy và góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABC) bằng $60{}^\circ $. Biết diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng $\dfrac{13\pi {{a}^{2}}}{3}$. Khi đó thể tích V của khối chóp S.ABC bằng bao nhiêu?
A. $V=\dfrac{3{{\text{a}}^{3}}}{4}$
B. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$
C. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
A. $V=\dfrac{3{{\text{a}}^{3}}}{4}$
B. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$
C. $V=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$
Ta có diện tích mặt cầu ${{\text{S}}_{mc}}=4\pi R_{c}^{2}\Rightarrow R_{c}^{2}=\dfrac{{{S}_{mc}}}{4\pi }=\dfrac{\dfrac{13\pi {{a}^{2}}}{3}}{4\pi }=\dfrac{13{{a}^{2}}}{12}$ (*).
Gọi ${{R}_{d}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy.
Đặt $AB=x\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& SA=AC\tan 60{}^\circ =x\sqrt{3} \\
& {{R}_{day}}=\dfrac{x\sqrt{3}}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Áp dụng mô hình 1 (cạnh bên vuông góc với mặt đáy)
Ta có: ${{R}_{c}}=\sqrt{R_{day}^{2}+{{\left( \dfrac{SA}{2} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow R_{c}^{2}=R_{day}^{2}+{{\left( \dfrac{SA}{2} \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{x\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{x\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{13{{\text{x}}^{2}}}{12}$ (2*).
Từ (*) và (2*), suy ra: $x=a\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& SA=a\sqrt{3} \\
& {{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
Gọi ${{R}_{d}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy.
Đặt $AB=x\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& SA=AC\tan 60{}^\circ =x\sqrt{3} \\
& {{R}_{day}}=\dfrac{x\sqrt{3}}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Áp dụng mô hình 1 (cạnh bên vuông góc với mặt đáy)
Ta có: ${{R}_{c}}=\sqrt{R_{day}^{2}+{{\left( \dfrac{SA}{2} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow R_{c}^{2}=R_{day}^{2}+{{\left( \dfrac{SA}{2} \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{x\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{x\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{13{{\text{x}}^{2}}}{12}$ (2*).
Từ (*) và (2*), suy ra: $x=a\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& SA=a\sqrt{3} \\
& {{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
Đáp án D.