Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt phẳng (SAC), (SAB) cùng vuông góc với đáy và góc tạo bởi SC và đáy bằng $60{}^\circ $. Tính khoảng cách h từ A tới mặt phẳng (SBC) theo a.
A. $h=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
B. $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
C. $h=\dfrac{a\sqrt{15}}{3}$
D. $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{5}$
Do $\left. \begin{aligned}
& (SAC)\bot (ABC) \\
& (SAB)\bot (ABC) \\
& (SAC)\bigcap (SAB)=SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow SA\bot (ABC)\Rightarrow \left( SC,(ABC) \right)=\widehat{SCA}=60{}^\circ $
$\Rightarrow SA=AC\tan \widehat{SCA}=a\sqrt{3}$.
Gọi I, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BC, SI, khi đó: $d\left( A,(SBC) \right)=AH$
Tam giác ABC đều cạnh a nên $AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Khi đó xét tam giác SAI: $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{\text{a}}^{2}}}+\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{3{{\text{a}}^{2}}}$
$\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
Vậy $h=d\left( A,(SBC) \right)=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
A. $h=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$
B. $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
C. $h=\dfrac{a\sqrt{15}}{3}$
D. $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{5}$
Do $\left. \begin{aligned}
& (SAC)\bot (ABC) \\
& (SAB)\bot (ABC) \\
& (SAC)\bigcap (SAB)=SA \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow SA\bot (ABC)\Rightarrow \left( SC,(ABC) \right)=\widehat{SCA}=60{}^\circ $
$\Rightarrow SA=AC\tan \widehat{SCA}=a\sqrt{3}$.
Gọi I, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BC, SI, khi đó: $d\left( A,(SBC) \right)=AH$
Tam giác ABC đều cạnh a nên $AI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Khi đó xét tam giác SAI: $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{3{{\text{a}}^{2}}}+\dfrac{4}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{3{{\text{a}}^{2}}}$
$\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
Vậy $h=d\left( A,(SBC) \right)=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.
Đáp án A.