Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt phẳng...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt phẳng (SAC), (SAB) cùng vuông góc với đáy và góc tạo bởi SC và đáy bằng

60^{\circ}

. Tính khoảng cách h từ A tới mặt phẳng (SBC) theo a.
A.

h = \frac{a \sqrt{15}}{5}

B.

h = \frac{a \sqrt{3}}{3}

C.

h = \frac{a \sqrt{15}}{3}

D.

h = \frac{a \sqrt{3}}{5}

Do

\begin{aligned} (S A C) ⊥ (A B C) \\ (S A B) ⊥ (A B C) \\ (S A C) ⋂ (S A B) = S A \end{aligned}} \Rightarrow S A ⊥ (A B C) \Rightarrow (S C, (A B C)) = \hat{S C A} = 60^{\circ}

\Rightarrow S A = A C \tan \hat{S C A} = a \sqrt{3}

.
Gọi I, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BC, SI, khi đó:

d (A, (S B C)) = A H

Tam giác ABC đều cạnh a nên

A I = \frac{a \sqrt{3}}{2}

Khi đó xét tam giác SAI:

\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A I^{2}} = \frac{1}{3 a^{2}} + \frac{4}{3 a^{2}} = \frac{5}{3 a^{2}}

\Rightarrow A H = \frac{a \sqrt{15}}{5}

.
Vậy

h = d (A, (S B C)) = \frac{a \sqrt{15}}{5}

.

Đáp án A.