Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $ABC$ là tam giác đều cạnh $3a$, $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}={{90}^{0}}$, góc giữa $(SAB)$ và $(SCB)$ bằng ${{60}^{0}}$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{8}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{24}$.
D. $\dfrac{9\sqrt{2}{{a}^{3}}}{8}$.
Trong mặt phẳng $(ABC)$ lấy $D$ nằm trên đường trung trực của $AC$ sao cho $SD\bot (ABC)$ và $\widehat{BCD}=\widehat{BAD}={{90}^{0}}$ $\Rightarrow \widehat{SAB}=\widehat{SCB}={{90}^{0}}$
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow BD=\dfrac{B{{C}^{2}}}{OB}=2a\sqrt{3}\Rightarrow CD=a\sqrt{3}$
Dựng $AM\bot SB$, do $\Delta SAB=\Delta SCB\Rightarrow CM\bot SB\Rightarrow (\widehat{(SAB),(SCB)})=(\widehat{AM,CM})$
+ Nếu $\widehat{AMC}={{60}^{0}}\Rightarrow MC=\dfrac{OC}{\text{sin3}{{0}^{0}}}=3a=BC$ vô lí vì tam giác $MBC$ vuông tại $M$
+ Nếu $\widehat{AMC}={{120}^{0}}\Rightarrow MC=\dfrac{OC}{\text{sin6}{{0}^{0}}}=\sqrt{3}\Rightarrow SC=\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SB=\dfrac{3a\sqrt{6}}{2}$
$SD=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{D}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SD=\dfrac{1}{3}.\dfrac{9{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{6}}{2}=\dfrac{9{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$
A. $\dfrac{3\sqrt{2}{{a}^{3}}}{8}$.
B. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{24}$.
D. $\dfrac{9\sqrt{2}{{a}^{3}}}{8}$.
Trong mặt phẳng $(ABC)$ lấy $D$ nằm trên đường trung trực của $AC$ sao cho $SD\bot (ABC)$ và $\widehat{BCD}=\widehat{BAD}={{90}^{0}}$ $\Rightarrow \widehat{SAB}=\widehat{SCB}={{90}^{0}}$
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow BD=\dfrac{B{{C}^{2}}}{OB}=2a\sqrt{3}\Rightarrow CD=a\sqrt{3}$
Dựng $AM\bot SB$, do $\Delta SAB=\Delta SCB\Rightarrow CM\bot SB\Rightarrow (\widehat{(SAB),(SCB)})=(\widehat{AM,CM})$
+ Nếu $\widehat{AMC}={{60}^{0}}\Rightarrow MC=\dfrac{OC}{\text{sin3}{{0}^{0}}}=3a=BC$ vô lí vì tam giác $MBC$ vuông tại $M$
+ Nếu $\widehat{AMC}={{120}^{0}}\Rightarrow MC=\dfrac{OC}{\text{sin6}{{0}^{0}}}=\sqrt{3}\Rightarrow SC=\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow SB=\dfrac{3a\sqrt{6}}{2}$
$SD=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{D}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SD=\dfrac{1}{3}.\dfrac{9{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a\sqrt{6}}{2}=\dfrac{9{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$
Đáp án D.