Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB=a, AC=a\sqrt{3}, SB=2a$ và $\widehat{ABC}=\widehat{BAS}=\widehat{BCS}=90{}^\circ $. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của $S$ xuống mặt phẳng $\left( ABC \right)$
$\left\{ \begin{aligned}
& SD\bot AB \\
& AB\bot AD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot AD$
$\left\{ \begin{aligned}
& SD\bot BC \\
& BC\bot SC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot DC$
Mà $\widehat{ABC}={{90}^{{}^\circ }}\Rightarrow $ $ABCD$ là hình chữ nhật
$\Delta ABC$ vuông tại $B$ nên $BC=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=\sqrt{2}a$
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}\sqrt{4{{a}^{2}}-3{{a}^{2}}}.\dfrac{1}{2}a.\sqrt{2}a=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{6}.$
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
$\left\{ \begin{aligned}
& SD\bot AB \\
& AB\bot AD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot AD$
$\left\{ \begin{aligned}
& SD\bot BC \\
& BC\bot SC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot DC$
Mà $\widehat{ABC}={{90}^{{}^\circ }}\Rightarrow $ $ABCD$ là hình chữ nhật
$\Delta ABC$ vuông tại $B$ nên $BC=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=\sqrt{2}a$
${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}\sqrt{4{{a}^{2}}-3{{a}^{2}}}.\dfrac{1}{2}a.\sqrt{2}a=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{6}.$
Đáp án D.