Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S.ABC}$ có ${AB = 4a,BC = 5a,CA = 3a}$ ; các mặt phẳng ${\left( {SAB} \right)}$, ${\left( {SBC} \right)}$, ${\left( {SCA} \right)}$ cùng tạo với mặt phẳng đáy ${\left( {ABC} \right)}$ một góc bằng ${{60^0}}$ và hình chiếu vuông góc của ${S}$ lên mặt phẳng đáy là một điểm thuộc miền trong của tam giác ${ABC}$. Tính khoảng cách từ ${A}$ đến ${mp\left( {SBC} \right)}$.
A. ${\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{5}}$.
B. ${3a}$.
C. ${\dfrac{{5a}}{2}}$.
D. ${\dfrac{{6a\sqrt 3 }}{5}}$.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của của Siên mp(ABC). Trong (ABC) gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh BC, CA, AB tương ứng.
Theo đề bài ta có $\widehat{SDH}=\widehat{SEH}=\widehat{SFH}=60{}^\circ =\Delta SHD=\Delta SHE=\Delta SHF\Rightarrow HD=HE=HF$ mà H ở miền trong $\Delta ABC$
Có $B{{C}^{2}}=25{{a}^{2}}=16{{a}^{2}}+9{{a}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại A.
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC=6{{a}^{2}}$ và nửa chu vi p= 6a, do đó $r=\dfrac{S}{P}=a hay HD=a$
$\Rightarrow SH=HD.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.6{{a}^{2}}.a\sqrt{3}=2{{a}^{3}}\sqrt{3}$
$\Delta $ SBC có SD $\bot $ BC (vì $BC\bot SH,BC\bot HD$ ) nên ${{S}_{\Delta SBC}}=\dfrac{1}{2}BC.SD=\dfrac{1}{2}5a\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=5{{a}^{2}}$
Lại có ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta SBC}}.d\left( A,\left( SBC \right) \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3.2{{a}^{2}}\sqrt{3}}{5{{a}^{2}}}=\dfrac{6a\sqrt{3}}{5}$
Vậy khoảng cách từ Ađến mp (SBC)bằng $\dfrac{6a\sqrt{3}}{5}$
A. ${\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{5}}$.
B. ${3a}$.
C. ${\dfrac{{5a}}{2}}$.
D. ${\dfrac{{6a\sqrt 3 }}{5}}$.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của của Siên mp(ABC). Trong (ABC) gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh BC, CA, AB tương ứng.
Theo đề bài ta có $\widehat{SDH}=\widehat{SEH}=\widehat{SFH}=60{}^\circ =\Delta SHD=\Delta SHE=\Delta SHF\Rightarrow HD=HE=HF$ mà H ở miền trong $\Delta ABC$
Có $B{{C}^{2}}=25{{a}^{2}}=16{{a}^{2}}+9{{a}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại A.
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC=6{{a}^{2}}$ và nửa chu vi p= 6a, do đó $r=\dfrac{S}{P}=a hay HD=a$
$\Rightarrow SH=HD.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.6{{a}^{2}}.a\sqrt{3}=2{{a}^{3}}\sqrt{3}$
$\Delta $ SBC có SD $\bot $ BC (vì $BC\bot SH,BC\bot HD$ ) nên ${{S}_{\Delta SBC}}=\dfrac{1}{2}BC.SD=\dfrac{1}{2}5a\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=5{{a}^{2}}$
Lại có ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{\Delta SBC}}.d\left( A,\left( SBC \right) \right)\Rightarrow d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{3.2{{a}^{2}}\sqrt{3}}{5{{a}^{2}}}=\dfrac{6a\sqrt{3}}{5}$
Vậy khoảng cách từ Ađến mp (SBC)bằng $\dfrac{6a\sqrt{3}}{5}$
Đáp án D.