Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABC$ có $AB=4a,BC=3\sqrt{2}a,$ $\widehat{ABC}=45{}^\circ ;\widehat{SAC}=\widehat{SBC}=90{}^\circ $ ; Sin góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SBC \right)$ bằng $\dfrac{\sqrt{2}}{4}.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{183}}{12}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{183}}{3}.$
C. $\dfrac{5a\sqrt{3}}{12}.$
D. $\dfrac{3a\sqrt{5}}{12}.$
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $\left( ABC \right)$
$\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot SA \\
& AC\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SAH \right)\Rightarrow AC\bot AH$
Tương tự $BC\bot BH$
$\Rightarrow $ Tứ giá $ACBH$ là tứ giác nội tiếp
Đặt $SH=x\Rightarrow {{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}x\left( \dfrac{1}{2}.4a.3a\sqrt{2}.\sin {{45}^{0}} \right)=2x{{a}^{2}}\text{ }\left( 1 \right)$
* Xét $\Delta ABC$
$A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AB.BC.\cos {{45}^{0}}\Rightarrow AC=a\sqrt{10}\Rightarrow AH=a\sqrt{10}$
$\Rightarrow SA=\sqrt{{{x}^{2}}+10{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta SAC}}=\dfrac{1}{2}SA.AC=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}.\sqrt{{{x}^{2}}+10{{a}^{2}}}$
Tương tự ${{S}_{\Delta SBC}}=\dfrac{3\sqrt{2}a}{2}.\sqrt{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow {{V}_{SABC}}=\dfrac{2{{S}_{\Delta SBC}}.{{S}_{\Delta SAB}}.\sin \left( \left( SBC \right),\left( SAB \right) \right)}{3SB}$
$=\dfrac{2.\dfrac{3\sqrt{2}a}{2}.\sqrt{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}.\dfrac{a\sqrt{10}}{2}.\sqrt{{{x}^{2}}+10{{a}^{2}}}}{3\sqrt{{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}}}\text{ }\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)\Rightarrow 2x{{a}^{2}}=\dfrac{2.\dfrac{3\sqrt{2}a}{2}.\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}.\dfrac{a\sqrt{10}}{2}.\sqrt{{{x}^{2}}+10{{a}^{2}}}}{3\sqrt{{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}}}$
$\Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Xét $\Delta ABC:\dfrac{AC}{\sin {{45}^{0}}}=2R\Rightarrow R=a\sqrt{5}$
$\Rightarrow R$ cầu ngoại tiếp $=\sqrt{R_{day}^{2}+{{\left( \dfrac{h}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{5} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{183}}{6}.$
A. $\dfrac{a\sqrt{183}}{12}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{183}}{3}.$
C. $\dfrac{5a\sqrt{3}}{12}.$
D. $\dfrac{3a\sqrt{5}}{12}.$
$\left\{ \begin{aligned}
& AC\bot SA \\
& AC\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SAH \right)\Rightarrow AC\bot AH$
Tương tự $BC\bot BH$
$\Rightarrow $ Tứ giá $ACBH$ là tứ giác nội tiếp
Đặt $SH=x\Rightarrow {{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{3}x\left( \dfrac{1}{2}.4a.3a\sqrt{2}.\sin {{45}^{0}} \right)=2x{{a}^{2}}\text{ }\left( 1 \right)$
* Xét $\Delta ABC$
$A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AB.BC.\cos {{45}^{0}}\Rightarrow AC=a\sqrt{10}\Rightarrow AH=a\sqrt{10}$
$\Rightarrow SA=\sqrt{{{x}^{2}}+10{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow {{S}_{\Delta SAC}}=\dfrac{1}{2}SA.AC=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}.\sqrt{{{x}^{2}}+10{{a}^{2}}}$
Tương tự ${{S}_{\Delta SBC}}=\dfrac{3\sqrt{2}a}{2}.\sqrt{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}$
$\Rightarrow {{V}_{SABC}}=\dfrac{2{{S}_{\Delta SBC}}.{{S}_{\Delta SAB}}.\sin \left( \left( SBC \right),\left( SAB \right) \right)}{3SB}$
$=\dfrac{2.\dfrac{3\sqrt{2}a}{2}.\sqrt{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}.\dfrac{a\sqrt{10}}{2}.\sqrt{{{x}^{2}}+10{{a}^{2}}}}{3\sqrt{{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}}}\text{ }\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)\Rightarrow 2x{{a}^{2}}=\dfrac{2.\dfrac{3\sqrt{2}a}{2}.\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}.\dfrac{a\sqrt{10}}{2}.\sqrt{{{x}^{2}}+10{{a}^{2}}}}{3\sqrt{{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}}}$
$\Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
Xét $\Delta ABC:\dfrac{AC}{\sin {{45}^{0}}}=2R\Rightarrow R=a\sqrt{5}$
$\Rightarrow R$ cầu ngoại tiếp $=\sqrt{R_{day}^{2}+{{\left( \dfrac{h}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{5} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{6} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{183}}{6}.$
Đáp án A.