Google
Câu hỏi: Cho hình chóp S. $A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ).
Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{21}a}{28}$.
B. $\dfrac{\sqrt{21}a}{14}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}a}{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{21}a}{7}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $A B \Rightarrow S M \perp(A B C D)$. Gọi $O=A C \cap B D$.
Ta có $\left\{\begin{array}{l}A C \cap(S B D)=O \\ A O=O C\end{array} \Rightarrow d(C,(S B D))=d(A,(S B D))\right.$.
Lại có $\left\{\begin{array}{l}A M \cap(S B D)=B \\ A B=2 M B\end{array} \Rightarrow d(A,(S B D))=2 d(M,(S B D))\right.$.
Vậy $\dfrac{d(C ;(S B D))}{d(M ;(S B D))}=2$
Kẻ $M K \perp B D(K \in B D)$, kẻ $M H \perp S K$ tại $H \Rightarrow M H=d(M ;(S B D))$.
Xét tam giác $S M K$, ta có
$
\begin{aligned}
&M K=\dfrac{1}{2} A O=\dfrac{1}{2} \dfrac{a \sqrt{2}}{2}=\dfrac{a \sqrt{2}}{4}, S M=\dfrac{a \sqrt{3}}{2} \\
&\dfrac{1}{M H^{2}}=\dfrac{1}{S M^{2}}+\dfrac{1}{M K^{2}}=\dfrac{28}{3 a^{2}} \Rightarrow M H=\dfrac{a \sqrt{21}}{14} \Rightarrow d(C ;(S B D))=\dfrac{a \sqrt{21}}{7} .
\end{aligned}
$
A. $\dfrac{\sqrt{21}a}{28}$.
B. $\dfrac{\sqrt{21}a}{14}$.
C. $\dfrac{\sqrt{2}a}{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{21}a}{7}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $A B \Rightarrow S M \perp(A B C D)$. Gọi $O=A C \cap B D$.
Ta có $\left\{\begin{array}{l}A C \cap(S B D)=O \\ A O=O C\end{array} \Rightarrow d(C,(S B D))=d(A,(S B D))\right.$.
Lại có $\left\{\begin{array}{l}A M \cap(S B D)=B \\ A B=2 M B\end{array} \Rightarrow d(A,(S B D))=2 d(M,(S B D))\right.$.
Vậy $\dfrac{d(C ;(S B D))}{d(M ;(S B D))}=2$
Kẻ $M K \perp B D(K \in B D)$, kẻ $M H \perp S K$ tại $H \Rightarrow M H=d(M ;(S B D))$.
Xét tam giác $S M K$, ta có
$
\begin{aligned}
&M K=\dfrac{1}{2} A O=\dfrac{1}{2} \dfrac{a \sqrt{2}}{2}=\dfrac{a \sqrt{2}}{4}, S M=\dfrac{a \sqrt{3}}{2} \\
&\dfrac{1}{M H^{2}}=\dfrac{1}{S M^{2}}+\dfrac{1}{M K^{2}}=\dfrac{28}{3 a^{2}} \Rightarrow M H=\dfrac{a \sqrt{21}}{14} \Rightarrow d(C ;(S B D))=\dfrac{a \sqrt{21}}{7} .
\end{aligned}
$
Đáp án D.