Google
Câu hỏi: Cho hình chóp̣ $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông, $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$, góc giữa đường thẳng $S C$ và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng $45^{\circ}$. Biết rằng thể tích khối chóp $S . A B C D$ bằng $\dfrac{a^3 \sqrt{2}}{3}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $S B$ và $A C$ bằng
A. $\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{a \sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{a \sqrt{10}}{5}$.
D. $\dfrac{a \sqrt{10}}{10}$.
Đặt cạnh của hình vuông $A B C D$ là $x, x>0$.
Vì $S A \perp(A B C D)$ nên suy ra góc giữa đường thẳng $S C$ và mặt phẳng $(A B C D)$ là góc $S C A$. Vậy $\widehat{S C A}=45^{\circ}$. Do đó tam giác $S A C$ vuông cân tại $A$. Suy ra $S A=A C=x \sqrt{2}$.
Ta có $V_{A B C D}=\dfrac{1}{3} S A . S_{A B C D}=\dfrac{1}{3} \cdot x \sqrt{2} \cdot x^2=\dfrac{x^3 \sqrt{2}}{3}$.
Theo bài ra thì $V_{A B C D}=\dfrac{a^3 \sqrt{2}}{3}$. Vậy $x=a$.
Cách 1: Qua $B$ dựng đường thẳng $d$ song song với $A C$, qua $A$ dựng đường thẳng $d^{\prime}$ song song với $B D$. Gọi $K$ là giao điểm của $d$ và $d^{\prime}$. Ta có $A C / /(S K B)$.
Do đó $d(A C, S B)=d(A C,(S K B))=d(A,(S K B))$.
Trong mặt phẳng $(S A K)$ dựng $A H$ vuông góc với $S K$ tại $H$ (1).
Vì $A C \perp B D$ nên suy ra $A K \perp K B$ (2). Mặt khác $S A \perp(A B C D)$ nên $S A \perp K B$ (3).
Từ (2) và (3) suy ra $K B \perp$ (SAK). Do đó ta có $K B \perp A H$ (4).
Từ (1) và (4) suy ra $A H \perp(S K B)$. Vậy $A H=d(A,(S K B))$.
Gọi $I$ là giao điểm của $A C$ và $B D$.
Ta có tứ giác $A K B I$ hình chữ nhật nên $A K=B I=\dfrac{B D}{2}=\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$.
Trong tam giác vuông $S A K$ có $\dfrac{1}{A H^2}=\dfrac{1}{A S^2}+\dfrac{1}{A K^2}=\dfrac{1}{(a \sqrt{2})^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2}=\dfrac{5}{2 a^2}$.
Suy ra $A H=\dfrac{a \sqrt{10}}{5}$. Vậy $d(A C, S B)=\dfrac{a \sqrt{10}}{5}$.
Cách 2: (tọa độ hóa):
Gán hệ trục tọa độ như sau: $A(0 ; 0 ; 0), D(a ; 0 ; 0), B(0 ; a ; 0)$ và $S(0 ; 0 ; a \sqrt{2})$.
Khi đó $C(a ; a ; 0)$.
Ta có $\overrightarrow{S B}=(0 ; a ;-a \sqrt{2}), \overrightarrow{A C}=(a ; a ; 0), \overrightarrow{A S}=(0 ; 0 ; a \sqrt{2})$.
Do đó: $[\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{S B}]=\left(-a^2 \sqrt{2} ; a^2 \sqrt{2} ; a^2\right),[\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{S B}] \cdot \overrightarrow{A S}=a^3 \sqrt{2}$.
Từ đó ta có $d(A C, S B)=\dfrac{|[\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{S B}] \overrightarrow{A S}|}{\mid[\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{S B}||}=\dfrac{a^3 \sqrt{2}}{a^2 \sqrt{5}}=\dfrac{a \sqrt{10}}{5}$.
A. $\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{a \sqrt{6}}{3}$.
C. $\dfrac{a \sqrt{10}}{5}$.
D. $\dfrac{a \sqrt{10}}{10}$.
Vì $S A \perp(A B C D)$ nên suy ra góc giữa đường thẳng $S C$ và mặt phẳng $(A B C D)$ là góc $S C A$. Vậy $\widehat{S C A}=45^{\circ}$. Do đó tam giác $S A C$ vuông cân tại $A$. Suy ra $S A=A C=x \sqrt{2}$.
Ta có $V_{A B C D}=\dfrac{1}{3} S A . S_{A B C D}=\dfrac{1}{3} \cdot x \sqrt{2} \cdot x^2=\dfrac{x^3 \sqrt{2}}{3}$.
Theo bài ra thì $V_{A B C D}=\dfrac{a^3 \sqrt{2}}{3}$. Vậy $x=a$.
Cách 1: Qua $B$ dựng đường thẳng $d$ song song với $A C$, qua $A$ dựng đường thẳng $d^{\prime}$ song song với $B D$. Gọi $K$ là giao điểm của $d$ và $d^{\prime}$. Ta có $A C / /(S K B)$.
Do đó $d(A C, S B)=d(A C,(S K B))=d(A,(S K B))$.
Trong mặt phẳng $(S A K)$ dựng $A H$ vuông góc với $S K$ tại $H$ (1).
Vì $A C \perp B D$ nên suy ra $A K \perp K B$ (2). Mặt khác $S A \perp(A B C D)$ nên $S A \perp K B$ (3).
Từ (2) và (3) suy ra $K B \perp$ (SAK). Do đó ta có $K B \perp A H$ (4).
Từ (1) và (4) suy ra $A H \perp(S K B)$. Vậy $A H=d(A,(S K B))$.
Gọi $I$ là giao điểm của $A C$ và $B D$.
Ta có tứ giác $A K B I$ hình chữ nhật nên $A K=B I=\dfrac{B D}{2}=\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$.
Trong tam giác vuông $S A K$ có $\dfrac{1}{A H^2}=\dfrac{1}{A S^2}+\dfrac{1}{A K^2}=\dfrac{1}{(a \sqrt{2})^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2}=\dfrac{5}{2 a^2}$.
Suy ra $A H=\dfrac{a \sqrt{10}}{5}$. Vậy $d(A C, S B)=\dfrac{a \sqrt{10}}{5}$.
Cách 2: (tọa độ hóa):
Gán hệ trục tọa độ như sau: $A(0 ; 0 ; 0), D(a ; 0 ; 0), B(0 ; a ; 0)$ và $S(0 ; 0 ; a \sqrt{2})$.
Khi đó $C(a ; a ; 0)$.
Ta có $\overrightarrow{S B}=(0 ; a ;-a \sqrt{2}), \overrightarrow{A C}=(a ; a ; 0), \overrightarrow{A S}=(0 ; 0 ; a \sqrt{2})$.
Do đó: $[\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{S B}]=\left(-a^2 \sqrt{2} ; a^2 \sqrt{2} ; a^2\right),[\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{S B}] \cdot \overrightarrow{A S}=a^3 \sqrt{2}$.
Từ đó ta có $d(A C, S B)=\dfrac{|[\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{S B}] \overrightarrow{A S}|}{\mid[\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{S B}||}=\dfrac{a^3 \sqrt{2}}{a^2 \sqrt{5}}=\dfrac{a \sqrt{10}}{5}$.
Đáp án C.