Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thang vuông tại $A$ và $B, A B=A D=a, B C=2 a$. Cạnh bên $S B$ vuông góc với đáy và $S B=a \sqrt{7}, M$ là trung điểm của $B C$. Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $A M$ và $S C$.
A. $d=\dfrac{3 a \sqrt{7}}{7}$.
B. $d=\dfrac{a \sqrt{14}}{3}$.
C. $d=\dfrac{3 a \sqrt{14}}{2}$.
D. $d=\dfrac{a \sqrt{14}}{6}$.
Theo giả thiết $A M C D$ là hình bình hành $(A D / / C M, A D=C M=a)$.
Ta có $\dfrac{d(B,(S C D))}{d(M,(S C D))}=\dfrac{B C}{M C}=2 \Rightarrow d(M,(S C D))=\dfrac{d(B,(S C D))}{2}$.
Vì $A B C D$ là hình thang vuông tại $A$ và $B, A B=A D=a, B C=2 a$ nên $B D=D C=a \sqrt{2}$. Do đó $B D$ vuông góc với $D C$. Trong tam giác $S B D$ vuông tại $B$ kẻ đường cao $B H$.
Suy $\operatorname{ra} d(B,(S C D))=B H$
Ta có $\dfrac{1}{B H^2}=\dfrac{1}{S B^2}+\dfrac{1}{B D^2}=\dfrac{1}{(a \sqrt{7})^2}+\dfrac{1}{(a \sqrt{2})^2}=\dfrac{9}{14 a^2} \Rightarrow B H^2=\dfrac{14 a^2}{9} \Rightarrow B H=\dfrac{a \sqrt{14}}{3}$ $\Rightarrow d(M,(S C D))=\dfrac{a \sqrt{14}}{6}$. Vậy $d=\dfrac{a \sqrt{14}}{6}$.
A. $d=\dfrac{3 a \sqrt{7}}{7}$.
B. $d=\dfrac{a \sqrt{14}}{3}$.
C. $d=\dfrac{3 a \sqrt{14}}{2}$.
D. $d=\dfrac{a \sqrt{14}}{6}$.
Ta có $\dfrac{d(B,(S C D))}{d(M,(S C D))}=\dfrac{B C}{M C}=2 \Rightarrow d(M,(S C D))=\dfrac{d(B,(S C D))}{2}$.
Vì $A B C D$ là hình thang vuông tại $A$ và $B, A B=A D=a, B C=2 a$ nên $B D=D C=a \sqrt{2}$. Do đó $B D$ vuông góc với $D C$. Trong tam giác $S B D$ vuông tại $B$ kẻ đường cao $B H$.
Suy $\operatorname{ra} d(B,(S C D))=B H$
Ta có $\dfrac{1}{B H^2}=\dfrac{1}{S B^2}+\dfrac{1}{B D^2}=\dfrac{1}{(a \sqrt{7})^2}+\dfrac{1}{(a \sqrt{2})^2}=\dfrac{9}{14 a^2} \Rightarrow B H^2=\dfrac{14 a^2}{9} \Rightarrow B H=\dfrac{a \sqrt{14}}{3}$ $\Rightarrow d(M,(S C D))=\dfrac{a \sqrt{14}}{6}$. Vậy $d=\dfrac{a \sqrt{14}}{6}$.
Đáp án D.