Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $O$ có đáy là hình vuông cạnh bằng ${O}'$, $a$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $\left( O \right)$ bằng $\left( {{O}'} \right)$. Gọi $A$, $B$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và ${{30}^{0}}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và $O.O'AB.$ bằng:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
B. $\dfrac{3{{a}^{4}}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
D. $\dfrac{2\pi {{a}^{3}}}{3}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{4}$.
B. $\dfrac{3{{a}^{4}}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
D. $\dfrac{2\pi {{a}^{3}}}{3}$.
Cách 1:
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $A$ trùng với $O$ ; và giả sử $a=1$ vẫn không làm mất tính tổng quát của bài toán
$A\left( 0;0;0 \right);S\left( 0;0;2 \right);C\left( 2;2;0 \right);M\left( 0;0;1 \right);N\left( 1;2;0 \right)$
$\overrightarrow{MN}=\left( 1;2;-1 \right)$ ; $\overrightarrow{SC}=\left( 2;2;-2 \right)$ ; $\overrightarrow{MS}=\left( 0;0;1 \right)$
$d\left( MN;SC \right)=\dfrac{\left[ \left[ \overrightarrow{MN},\overrightarrow{SC} \right].\overrightarrow{MS} \right]}{\left| \left[ \overrightarrow{MN},\overrightarrow{SC} \right] \right|}=$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Cách 2:
Kẻ $PN//SC;NQ//MP$
Kẻ $AK\bot MQ$ ; dễ thấy $AK\bot \left( MPNQ \right)$
$d\left( MN;SC \right)=d\left( SC;\left( MNP \right) \right)=d\left( S;\left( MNP \right) \right)=d\left( A;\left( MNP \right) \right)=d\left( A;\left( MPNQ \right) \right)=AK$
$AK=\dfrac{AM.AQ}{MQ}=\dfrac{a.a}{a\sqrt{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Cách 3: (PB bổ sung): Gọi Kẻ $E$ là trung điểm SB, dễ thấy $MN//EC$
$d\left( MN;SC \right)=d\left( MN;\left( SCB \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{2}AE=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$A\left( 0;0;0 \right);S\left( 0;0;2 \right);C\left( 2;2;0 \right);M\left( 0;0;1 \right);N\left( 1;2;0 \right)$
$\overrightarrow{MN}=\left( 1;2;-1 \right)$ ; $\overrightarrow{SC}=\left( 2;2;-2 \right)$ ; $\overrightarrow{MS}=\left( 0;0;1 \right)$
$d\left( MN;SC \right)=\dfrac{\left[ \left[ \overrightarrow{MN},\overrightarrow{SC} \right].\overrightarrow{MS} \right]}{\left| \left[ \overrightarrow{MN},\overrightarrow{SC} \right] \right|}=$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Cách 2:
Kẻ $AK\bot MQ$ ; dễ thấy $AK\bot \left( MPNQ \right)$
$d\left( MN;SC \right)=d\left( SC;\left( MNP \right) \right)=d\left( S;\left( MNP \right) \right)=d\left( A;\left( MNP \right) \right)=d\left( A;\left( MPNQ \right) \right)=AK$
$AK=\dfrac{AM.AQ}{MQ}=\dfrac{a.a}{a\sqrt{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Cách 3: (PB bổ sung): Gọi Kẻ $E$ là trung điểm SB, dễ thấy $MN//EC$
$d\left( MN;SC \right)=d\left( MN;\left( SCB \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A;\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{2}AE=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Đáp án C.