Cho hình chóp ngũ giác đều có tổng diện tích tất cả các mặt là $S = 4.$ Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp ngũ giác đều đã cho có dạng $\max...

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Cho hình chóp ngũ giác đều có tổng diện tích tất cả các mặt là

S = 4.

Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp ngũ giác đều đã cho có dạng

max V = \frac{a \sqrt{10}}{b \sqrt{\tan 36^{0}}},

trong đó

a, b \in N *, \frac{a}{b}

là phân số tối giản. Hãy tính

T = a + b .

A.

15.

B.

17.

C.

18.

D.

16.

Gọi hình chóp ngũ giác đều đã cho là

S . A B C D E

có

O

là tâm của đáy

A B C D E, I

là trung điểm cạnh

C D

.

\Rightarrow S O ⊥ (A B C D E)

và

O I ⊥ C D \Rightarrow C D ⊥ (S O I) .

Lại có:

\hat{C O I} = \frac{1}{2} \hat{C O D} = 36^{0} \Rightarrow I C = O I . \tan 36^{0}

Dễ thấy:

S_{Δ S C D} + S_{Δ O C D} = \frac{1}{5} S = \frac{4}{5} \Rightarrow \frac{1}{2} S I . C D + \frac{1}{2} O I . C D = \frac{4}{5} \Rightarrow S I . I C + O I . I C = \frac{4}{5}

\Rightarrow S I . O I . \tan 36^{0} + O I^{2} . \tan 36^{0} = \frac{4}{5} \Rightarrow S I = \frac{4}{5. I O . \tan 36^{0}} - O I

\Rightarrow S O = \sqrt{S I^{2} - O I^{2}} = \sqrt{{(\frac{4}{5. O I . \tan 36^{0}} - O I)}^{2} - O I^{2}} = \sqrt{\frac{16}{25. O I^{2} . \tan^{2} 36^{0}} - \frac{8}{5 \tan 36^{0}}}

Thể tích khối chóp

S . A B C D E

là:

V = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D E} = \frac{1}{3} S O .5 S_{Δ C O D} = \frac{5}{3} S O . \frac{1}{2} O I . C D

= \frac{5}{3} S O . O I . I C = \frac{4}{2} \sqrt{\frac{16}{25. O I^{2} . \tan^{2} 36^{0}} - \frac{8}{5 \tan 36^{0}}} . O I^{2} . \tan 36^{0}

= \frac{10 \sqrt{2}}{3 \sqrt{5 \tan 36^{0}}} \sqrt{(\frac{2}{5} - O I^{2} . \tan 36^{0}) . O I^{2} . \tan 36^{0}} \leq \frac{10 \sqrt{2}}{3 \sqrt{5 \tan 36^{0}}} . \frac{\frac{2}{5} - O I^{2} . \tan 36^{0} + O I^{2} . \tan 36^{0}}{2}

= \frac{10 \sqrt{2}}{3 \sqrt{5} \tan 36^{0}} . \frac{1}{5} = \frac{2 \sqrt{10}}{15 \sqrt{\tan 36^{0}}}

Vậy:

a = 2; b = 15 \Rightarrow T = a + b = 17.

Đáp án B.

Cho hình chóp ngũ giác đều có tổng diện tích tất cả các mặt là S=4. Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp ngũ giác đều đã cho có dạng $\max...