Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ngũ giác đều có tổng diện tích tất cả các mặt là $S=4.$ Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp ngũ giác đều đã cho có dạng $\max V=\dfrac{a\sqrt{10}}{b\sqrt{\tan {{36}^{0}}}},$ trong đó $a,b\in \mathbb{N}*,\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Hãy tính $T=a+b.$
A. $15.$
B. $17.$
C. $18.$
D. $16.$
Gọi hình chóp ngũ giác đều đã cho là $S.ABCDE$ có $O$ là tâm của đáy $ABCDE,I$ là trung điểm cạnh $CD$.
$\Rightarrow SO\bot \left( ABCDE \right)$ và $OI\bot CD\Rightarrow CD\bot \left( SOI \right).$
Lại có: $\widehat{COI}=\dfrac{1}{2}\widehat{COD}={{36}^{0}}\Rightarrow IC=OI.\tan {{36}^{0}}$
Dễ thấy: ${{S}_{\Delta SCD}}+{{S}_{\Delta OCD}}=\dfrac{1}{5}S=\dfrac{4}{5}\Rightarrow \dfrac{1}{2}SI.CD+\dfrac{1}{2}OI.CD=\dfrac{4}{5}\Rightarrow SI.IC+OI.IC=\dfrac{4}{5}$
$\Rightarrow SI.OI.\tan {{36}^{0}}+O{{I}^{2}}.\tan {{36}^{0}}=\dfrac{4}{5}\Rightarrow SI=\dfrac{4}{5.IO.\tan {{36}^{0}}}-OI$
$\Rightarrow SO=\sqrt{S{{I}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{4}{5.OI.\tan {{36}^{0}}}-OI \right)}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{16}{25.O{{I}^{2}}.{{\tan }^{2}}{{36}^{0}}}-\dfrac{8}{5\tan {{36}^{0}}}}$
Thể tích khối chóp $S.ABCDE$ là: $V=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCDE}}=\dfrac{1}{3}SO.5{{S}_{\Delta COD}}=\dfrac{5}{3}SO.\dfrac{1}{2}OI.CD$
$=\dfrac{5}{3}SO.OI.IC=\dfrac{4}{2}\sqrt{\dfrac{16}{25.O{{I}^{2}}.{{\tan }^{2}}{{36}^{0}}}-\dfrac{8}{5\tan {{36}^{0}}}}.O{{I}^{2}}.\tan {{36}^{0}}$
$=\dfrac{10\sqrt{2}}{3\sqrt{5\tan {{36}^{0}}}}\sqrt{\left( \dfrac{2}{5}-O{{I}^{2}}.\tan {{36}^{0}} \right).O{{I}^{2}}.\tan {{36}^{0}}}\le \dfrac{10\sqrt{2}}{3\sqrt{5\tan {{36}^{0}}}}.\dfrac{\dfrac{2}{5}-O{{I}^{2}}.\tan {{36}^{0}}+O{{I}^{2}}.\tan {{36}^{0}}}{2}$
$=\dfrac{10\sqrt{2}}{3\sqrt{5}\tan {{36}^{0}}}.\dfrac{1}{5}=\dfrac{2\sqrt{10}}{15\sqrt{\tan {{36}^{0}}}}$
Vậy: $a=2;b=15\Rightarrow T=a+b=17.$
A. $15.$
B. $17.$
C. $18.$
D. $16.$
Gọi hình chóp ngũ giác đều đã cho là $S.ABCDE$ có $O$ là tâm của đáy $ABCDE,I$ là trung điểm cạnh $CD$.
$\Rightarrow SO\bot \left( ABCDE \right)$ và $OI\bot CD\Rightarrow CD\bot \left( SOI \right).$
Lại có: $\widehat{COI}=\dfrac{1}{2}\widehat{COD}={{36}^{0}}\Rightarrow IC=OI.\tan {{36}^{0}}$
Dễ thấy: ${{S}_{\Delta SCD}}+{{S}_{\Delta OCD}}=\dfrac{1}{5}S=\dfrac{4}{5}\Rightarrow \dfrac{1}{2}SI.CD+\dfrac{1}{2}OI.CD=\dfrac{4}{5}\Rightarrow SI.IC+OI.IC=\dfrac{4}{5}$
$\Rightarrow SI.OI.\tan {{36}^{0}}+O{{I}^{2}}.\tan {{36}^{0}}=\dfrac{4}{5}\Rightarrow SI=\dfrac{4}{5.IO.\tan {{36}^{0}}}-OI$
$\Rightarrow SO=\sqrt{S{{I}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{4}{5.OI.\tan {{36}^{0}}}-OI \right)}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{16}{25.O{{I}^{2}}.{{\tan }^{2}}{{36}^{0}}}-\dfrac{8}{5\tan {{36}^{0}}}}$
Thể tích khối chóp $S.ABCDE$ là: $V=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCDE}}=\dfrac{1}{3}SO.5{{S}_{\Delta COD}}=\dfrac{5}{3}SO.\dfrac{1}{2}OI.CD$
$=\dfrac{5}{3}SO.OI.IC=\dfrac{4}{2}\sqrt{\dfrac{16}{25.O{{I}^{2}}.{{\tan }^{2}}{{36}^{0}}}-\dfrac{8}{5\tan {{36}^{0}}}}.O{{I}^{2}}.\tan {{36}^{0}}$
$=\dfrac{10\sqrt{2}}{3\sqrt{5\tan {{36}^{0}}}}\sqrt{\left( \dfrac{2}{5}-O{{I}^{2}}.\tan {{36}^{0}} \right).O{{I}^{2}}.\tan {{36}^{0}}}\le \dfrac{10\sqrt{2}}{3\sqrt{5\tan {{36}^{0}}}}.\dfrac{\dfrac{2}{5}-O{{I}^{2}}.\tan {{36}^{0}}+O{{I}^{2}}.\tan {{36}^{0}}}{2}$
$=\dfrac{10\sqrt{2}}{3\sqrt{5}\tan {{36}^{0}}}.\dfrac{1}{5}=\dfrac{2\sqrt{10}}{15\sqrt{\tan {{36}^{0}}}}$
Vậy: $a=2;b=15\Rightarrow T=a+b=17.$
Đáp án B.