Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $g\left( x \right)=\dfrac{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}{PQ.{{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)\left( x-a \right)}=\dfrac{1}{PQ\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)\left( x-a \right)}\Rightarrow $ có $AC=a,AB=a\sqrt{3},\overset\frown{BAC}={{150}^{0}}$ và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCNM bằng
A. $\dfrac{4\sqrt{7}\pi {{a}^{3}}}{3}$
B. $\dfrac{28\sqrt{7}\pi {{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{20\sqrt{5}\pi {{a}^{3}}}{3}$
D. $\dfrac{44\sqrt{11}\pi {{a}^{3}}}{3}$
A. $\dfrac{4\sqrt{7}\pi {{a}^{3}}}{3}$
B. $\dfrac{28\sqrt{7}\pi {{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{20\sqrt{5}\pi {{a}^{3}}}{3}$
D. $\dfrac{44\sqrt{11}\pi {{a}^{3}}}{3}$
Gọi $\left( O \right)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, kẻ đường kính $AK$. Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot BK \\
& AC\bot CK \\
\end{aligned} \right. $ (do $ AK$ là đường kính)
Mặt khác $BK\bot SA\Rightarrow BK\bot \left( SAB \right)\Rightarrow KB\bot AM$
Lại có $AM\bot SB\Rightarrow AM\bot \left( SBK \right)\Rightarrow AM\bot MK,$
Tương tự ta có $AN\bot NK\Rightarrow M,N,B,C$ cùng nhìn $AK$ dưới một góc vuông nên tứ diện $ABCNM$ nội tiếp đường tròn đường kính $AK$
Khi đó ${{R}_{AMBN}}=\dfrac{AK}{2}=OA={{R}_{\Delta ABC}}=\dfrac{BC}{2\sin B\hat{A}C}$
$=\dfrac{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC\cos B\hat{A}C}}{2\sin B\hat{A}C}=\sqrt{7}$. Suy ra ${{V}_{\left( C \right)}}=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{28\pi {{a}^{3}}\sqrt{7}}{3}$.
& AB\bot BK \\
& AC\bot CK \\
\end{aligned} \right. $ (do $ AK$ là đường kính)
Mặt khác $BK\bot SA\Rightarrow BK\bot \left( SAB \right)\Rightarrow KB\bot AM$
Lại có $AM\bot SB\Rightarrow AM\bot \left( SBK \right)\Rightarrow AM\bot MK,$
Tương tự ta có $AN\bot NK\Rightarrow M,N,B,C$ cùng nhìn $AK$ dưới một góc vuông nên tứ diện $ABCNM$ nội tiếp đường tròn đường kính $AK$
Khi đó ${{R}_{AMBN}}=\dfrac{AK}{2}=OA={{R}_{\Delta ABC}}=\dfrac{BC}{2\sin B\hat{A}C}$
$=\dfrac{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC\cos B\hat{A}C}}{2\sin B\hat{A}C}=\sqrt{7}$. Suy ra ${{V}_{\left( C \right)}}=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{28\pi {{a}^{3}}\sqrt{7}}{3}$.
Đáp án B.