Cho hình chóp đều $SABC$ có $AB=2a$, khoảng cách từ A đến...

Gọi M là trung điểm của BC và G là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.
Do S.ABC là hình chóp đều nên $SG\bot \left( ABC \right)$ và G là trọng tâm $\Delta ABC$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot BC \\
& SG\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAM \right) $ hay $ \left( SBC \right)\bot \left( SAM \right)$ theo giao tuyến SM.
Trong $\left( SAM \right)$, kẻ $AH\bot \text{S}M,H\in SM\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)$.
Vậy $d\left( A,(SBC) \right)=AH=\dfrac{3\text{a}}{2}$.
Vì $\Delta ABC$ là tam giác đều cạnh 2a nên $AM=\dfrac{2\text{a}\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$ và ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{\left( 2\text{a} \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}={{a}^{2}}\sqrt{3}$.
Đặt $SG=x$. Ta có: $GM=\dfrac{1}{3}AM=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Xét $\Delta SGM$ vuông tại G ta có: $SM=\sqrt{S{{G}^{2}}+G{{M}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}$
Xét $\Delta SAM$ ta có: ${{S}_{\Delta SAM}}=\dfrac{1}{2}SG.AM=\dfrac{1}{2}AH.SM\Rightarrow x.a\sqrt{3}=\dfrac{3\text{a}}{2}\sqrt{{{x}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}$
$\Leftrightarrow 4{{\text{x}}^{2}}=3\left( {{x}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{3} \right)\Leftrightarrow x=a$. Do đó: $SG=a$.
Thể tích khối chóp S.ABC là: ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}SG.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{3}.a.{{a}^{2}}\sqrt{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.