Cho hình chóp đều S.ABCD có thể tích bằng $\dfrac{1}{3}$, đáy ABCD...

Ta có ${{V}_{S.ABC\text{D}}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABC\text{D}}}.{{d}_{\left( S,(ABC\text{D}) \right)}}\Rightarrow {{d}_{\left( S,(ABC\text{D}) \right)}}=1$
Đặt $\left( ABC\text{D} \right):ax+by+cz+d=0\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0 \right)$.
Vì $AB\subset \left( ABC\text{D} \right)$ nên ${{\overrightarrow{n}}_{\left( ABC\text{D} \right)}}\bot {{\overrightarrow{u}}_{AB}}\Leftrightarrow {{\overrightarrow{n}}_{ABC\text{D}}}.{{\overrightarrow{u}}_{AB}}=0\Leftrightarrow b=0$.
Vì $M\left( 1;0;1 \right)\in \text{A}B\subset \left( ABC\text{D} \right)$ nên $a+c+d=0\Rightarrow d=-a-c$.
Ta có: ${{d}_{\left( S,(ABC\text{D}) \right)}}=1\Leftrightarrow \dfrac{\left| -a-c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}=1\Leftrightarrow \left| a+c \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}\Leftrightarrow 2\text{a}c=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0 \\
& c=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Trường hợp 1: $a=0$. Chọn $c=1\Rightarrow \left( ABC\text{D} \right):z+1=0$.
Trường hợp 2: $c=0$. Chọn $a=1\Rightarrow \left( ABC\text{D} \right):x+1=0$.