Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng a, điểm Mthuộc...

Phương pháp:
- Tìm thiết diện của hình chóp dựa vào yếu tố song song.
- Diện tích tứ giác có 2 đường chéo vuông góc bằng nửa tích hai đường chéo.
Cách giải:

Gọi O= AC⋂ BD⇒ SO⊥ (ABCD).
Trong (SAC) , gọi SO⋂ AM= G.
Qua Gkẻ đường thẳng song song BDcắt SB, SDlần lượt tại H,K.
Ta có: ⇒ ( P) ⋂ (SAC) = HK.
Khi đó thiết diện cần tìm là tứ giác AHMK.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AC \\
& BD\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot AM$
Do đó HK⊥ AM⇒ ${{S}_{AHMK}}=\dfrac{AM.HK}{2}~$
Ta có $HK||BD\Rightarrow \dfrac{HK}{BD}=\dfrac{SG}{SO}$
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SOCcó cát tuyến AGMta có: $\dfrac{AC}{AO}.\dfrac{GO}{GS}.\dfrac{MS}{MC}=1$.
Mà $\dfrac{AC}{AO}=2;\dfrac{MS}{MC}=\text{2}\Rightarrow \dfrac{GO}{GS}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow \dfrac{SG}{SO}=\dfrac{4}{5}$
⇒ $\dfrac{HK}{BD}=\dfrac{4}{5}.$ Mà ABCDlà hình vuông cạnh anên $AC=BD=a\sqrt{2}$ ⇒ $HK=\dfrac{4a\sqrt{2}}{5}$.
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác AMCvới cát tuyến là OGS: $\dfrac{OA}{OC}.\dfrac{SC}{SM}.\dfrac{GM}{GA}=1$ .
Mà $\dfrac{OA}{OC}=1;\dfrac{SC}{SM}~=\dfrac{3}{2}~\Rightarrow \dfrac{GM}{GA}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \dfrac{AG}{AM}=\dfrac{3}{5}.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SAOcó:
$SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Vì $\dfrac{SG}{SO}=\dfrac{4}{5}\Rightarrow \dfrac{OG}{SO}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow OG=\dfrac{1}{5}SO=\dfrac{a\sqrt{2}}{10}.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AGOcó:
$AG=\sqrt{G{{O}^{2}}+A{{O}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{10} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{13}}{5}.$
Khi đó $AM=\dfrac{5}{3}AG=\dfrac{a\sqrt{13}}{3}.$
+) ${{S}_{AHMK}}=\dfrac{AM.HK}{2}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{13}}{3}.\dfrac{4a\sqrt{2}}{5}=\dfrac{2a\sqrt{26}}{15}$