Google
Câu hỏi: Cho hình chóp đều S. ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 2a. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC. Mặt phẳng chứa AB và đi qua G cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M và N. Biết mặt bên của hình chóp tạo với đáy một góc bằng 600. Thể tích khối chóp S. ABMN bằng:
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$
B. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$
C. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$
D. $3{{a}^{3}}\sqrt{3}$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$
B. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$
C. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$
D. $3{{a}^{3}}\sqrt{3}$
Phương pháp:
- Xác định các điểm $M,N,$ chứng minh $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SC,SD.$
- Xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Tính đường cao SO với O là tâm hình vuông ABCD, từ đó tính ${{V}_{S.ABCD}}.$
- Tách ${{V}_{S.ABMN}}={{V}_{S.ABM}}+{{V}_{S.AMN}}$
- Sử dụng tỉ lệ thể tích Simpson.
Cách giải:
Vì G là trọng tâm tam giác SAC nên AG cắt SC tại trung điểm M của SC, tương tự BG cắt SD tại trung điểm N của SD.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là trung điểm của AB.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OI \\
& AB\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOI \right)\Rightarrow AB\bot SI.$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB \\
& \left( SAB \right)\supset SI\bot AB \\
& \left( ABCD \right)\supset OI\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( SAB \right);\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SI;OI \right)=\angle SIO={{60}^{0}}.$
Xét tam giác vuông SOI có: $SO=OI.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}.$
Suy ra ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SO=\dfrac{1}{3}.4{{a}^{2}}.a\sqrt{3}=\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
Ta có:
$\dfrac{{{V}_{S.ABM}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SB}{SB}.\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{S.ABM}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABCD}}.$
$\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SN}{SD}.\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ACD}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{S.ABCD}}.$
Vậy ${{V}_{S.ABMN}}={{V}_{S.ABM}}+{{V}_{S.AMN}}=\dfrac{3}{8}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{3}{8}\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2},$
- Xác định các điểm $M,N,$ chứng minh $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SC,SD.$
- Xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Tính đường cao SO với O là tâm hình vuông ABCD, từ đó tính ${{V}_{S.ABCD}}.$
- Tách ${{V}_{S.ABMN}}={{V}_{S.ABM}}+{{V}_{S.AMN}}$
- Sử dụng tỉ lệ thể tích Simpson.
Cách giải:
Vì G là trọng tâm tam giác SAC nên AG cắt SC tại trung điểm M của SC, tương tự BG cắt SD tại trung điểm N của SD.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là trung điểm của AB.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OI \\
& AB\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOI \right)\Rightarrow AB\bot SI.$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB \\
& \left( SAB \right)\supset SI\bot AB \\
& \left( ABCD \right)\supset OI\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( SAB \right);\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SI;OI \right)=\angle SIO={{60}^{0}}.$
Xét tam giác vuông SOI có: $SO=OI.\tan {{60}^{0}}=a\sqrt{3}.$
Suy ra ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SO=\dfrac{1}{3}.4{{a}^{2}}.a\sqrt{3}=\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
Ta có:
$\dfrac{{{V}_{S.ABM}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SB}{SB}.\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{S.ABM}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ABCD}}.$
$\dfrac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\dfrac{SA}{SA}.\dfrac{SN}{SD}.\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{S.ACD}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{S.ABCD}}.$
Vậy ${{V}_{S.ABMN}}={{V}_{S.ABM}}+{{V}_{S.AMN}}=\dfrac{3}{8}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{3}{8}\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2},$
Đáp án A.