Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh $a,$ cạnh bên bằng $a/2.$ Xét điểm M thay đổi trên mặt phẳng SCD sao cho tổng...

(VDC) - Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Phương pháp:
- Gọi I là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IS}=\overrightarrow{0},$ xác định vị trí điểm I và chứng minh ${{Q}_{\min }}\Leftrightarrow M{{I}_{\min }},$ khi đó M là hình chiếu của I lên $\left( SCD \right)$ hay $MI\bot \left( SCD \right).$
- Xác định tỉ số $\dfrac{d\left( M;\left( ABCD \right) \right)}{d\left( S;\left( ABCD \right) \right)}=\dfrac{ME}{SE},$ sử dụng định lí Ta-lét và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính tỉ số.
- Tính tỉ số thể tích bằng tỉ số chiều cao nhân tỉ số diện tích đáy.
Cách giải:

Gọi I là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IS}=\overrightarrow{0}.$
Ta có:
$Q=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}+M{{S}^{2}}$
$Q={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{ID} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IS} \right)}^{2}}$
$Q=5M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IS} \right)+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}+I{{D}^{2}}+I{{S}^{2}}$
$Q=5M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}+I{{D}^{2}}+I{{S}^{2}}$
Do các điểm I, A, B, C, D, E cố định nên $I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}+I{{D}^{2}}+I{{S}^{2}}$ không đổi, do đó ${{Q}_{\min }}\Rightarrow M{{I}_{\min }}$
Khi đó M là hình chiếu của I lên (SCD) hay $MI\bot \left( SCD \right).$
Gọi $O=AC\cap BD$ ta có $SO\bot \left( ABCD \right)$ và:
$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IS}=\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC} \right)+\left( \overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID} \right)+\overrightarrow{IS}=\overrightarrow{0}.$
$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{IO}+2\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{IS}=0\Leftrightarrow 4\overrightarrow{IO}=\overrightarrow{IS}$
Gọi E là trung điểm của CD. Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot OE \\
& CD\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SOE \right)\Rightarrow \left( SOE \right)\bot \left( SCD \right)\Rightarrow IM\subset \left( SOE \right).$
Trong $\left( SOE \right)$ KẺ $OH//IM\Rightarrow OH\bot SE.$
Ta có:
$SE=\sqrt{S{{C}^{2}}-C{{E}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}$
$SO=\sqrt{S{{E}^{2}}-O{{E}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{7{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$
$\dfrac{SM}{SH}=\dfrac{SI}{SO}=\dfrac{4}{5}$
$\dfrac{SH}{SE}=\dfrac{S{{O}^{2}}}{S{{E}^{2}}}=\dfrac{6{{a}^{2}}}{4}:\dfrac{7{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{6}{7}$
$\Leftrightarrow \dfrac{SM}{SE}=\dfrac{SM}{SH}.\dfrac{SH}{SE}=\dfrac{4}{5}.\dfrac{6}{7}=\dfrac{24}{35}\Rightarrow \dfrac{ME}{SE}=\dfrac{11}{35}$
Ta có: $SM\cap \left( ABCD \right)=E\Rightarrow \dfrac{d\left( M;\left( ABCD \right) \right)}{d\left( S;\left( ABCD \right) \right)}=\dfrac{ME}{SE}=\dfrac{11}{35}.$
Vậy $\dfrac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=\dfrac{{{V}_{M.ACD}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}.d\left( M;\left( ABCD \right) \right).{{S}_{ACD}}}{\dfrac{1}{3}.d\left( S;\left( ABCD \right) \right).{{S}_{ABCD}}}=\dfrac{11}{35}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{11}{70}.$