Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có chiều cao bằng $a$, góc giữa mặt bên...

Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$ thì $SO\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$ và theo đề bài thì $SO=a$.
Gọi $E$ là trung điểm của $CD$ thì vì $SE\mathrm{\perp }CD$ và $OE\mathrm{\perp }CD$ nên góc giữa mặt bên $\left(SCD\right)$ và mặt đáy $\left(ABCD\right)$ là $\widehat{SEO}={45}^0$.
Dễ thấy tam giác $SOE$ vuông cân tại $O$ nên $SO=OE=a$.
Suy ra $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$.
Vậy $V_{S.ABCD}={\displaystyle \frac{1}{3}}.S_{ABCD}.SO={\displaystyle \frac{1}{3}}.4a^2.a={\displaystyle \frac{4a^3}{3}}$.