Google
Câu hỏi: Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA, CD$. Biết góc giữa đường thẳng $MN$ với mặt phẳng $\left( SBD \right)$ bằng ${{30}^{{}^\circ }}$ (như hình vẽ).
Thể tích của khối chóp đều $S.ABCD$ là:
A. $V=\dfrac{\sqrt{30}{{a}^{3}}}{18}$.
B. $V=\dfrac{\sqrt{21}{{a}^{3}}}{6}$.
C. $V=\dfrac{\sqrt{5}{{a}^{3}}}{3}$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{22}{{a}^{3}}}{6}$.
Chọn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ. Gọi $SO=x>0$. Không mất tính tổng quát giả sử $a=1$
Ta có: $S\left( 0;0;x \right), A\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2};0;0 \right), B\left( 0;\dfrac{\sqrt{2}}{2};0 \right)$, $C\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2};0;0 \right),M\left( \dfrac{\sqrt{2}}{4};0;\dfrac{x}{2} \right),N\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{4};\dfrac{\sqrt{2}}{4};0 \right)$.
Suy ra: $\overrightarrow{MN}=\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{4};-\dfrac{x}{2} \right)=-\dfrac{1}{4}\left( 2\sqrt{2};-\sqrt{2};2x \right)$ $\Rightarrow \text{VTCP} \overrightarrow{u}=\left( 2\sqrt{2};-\sqrt{2};2x \right)$.
+ Mặt khác, $\left( SBD \right)$ có một VTPT là $\overrightarrow{i}=\left( 1;0;0 \right)$.
Ta có: $\sin \left( MN,\left( SBD \right) \right)=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}=\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{10+4{{x}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{22}}{2}$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{22}}{2}.{{a}^{3}}=\dfrac{\sqrt{22}{{a}^{3}}}{6}$.
Thể tích của khối chóp đều $S.ABCD$ là:
A. $V=\dfrac{\sqrt{30}{{a}^{3}}}{18}$.
B. $V=\dfrac{\sqrt{21}{{a}^{3}}}{6}$.
C. $V=\dfrac{\sqrt{5}{{a}^{3}}}{3}$.
D. $V=\dfrac{\sqrt{22}{{a}^{3}}}{6}$.
Chọn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ. Gọi $SO=x>0$. Không mất tính tổng quát giả sử $a=1$
Ta có: $S\left( 0;0;x \right), A\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2};0;0 \right), B\left( 0;\dfrac{\sqrt{2}}{2};0 \right)$, $C\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2};0;0 \right),M\left( \dfrac{\sqrt{2}}{4};0;\dfrac{x}{2} \right),N\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{4};\dfrac{\sqrt{2}}{4};0 \right)$.
Suy ra: $\overrightarrow{MN}=\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{4};-\dfrac{x}{2} \right)=-\dfrac{1}{4}\left( 2\sqrt{2};-\sqrt{2};2x \right)$ $\Rightarrow \text{VTCP} \overrightarrow{u}=\left( 2\sqrt{2};-\sqrt{2};2x \right)$.
+ Mặt khác, $\left( SBD \right)$ có một VTPT là $\overrightarrow{i}=\left( 1;0;0 \right)$.
Ta có: $\sin \left( MN,\left( SBD \right) \right)=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}=\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{10+4{{x}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{22}}{2}$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{22}}{2}.{{a}^{3}}=\dfrac{\sqrt{22}{{a}^{3}}}{6}$.
Đáp án D.