Google
Câu hỏi: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng $\sqrt{3}a$ và O là tâm của đáy. Gọi M, N, P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên các mặt phẳng $\left( SAB \right),\left( SBC \right),\left( SCD \right)$ và $\left( SDA \right).$ Thể tích của khối chóp O.MNPQ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
C. $\dfrac{16{{a}^{3}}}{81}.$
D. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{81}.$
Gọi X là trung điểm $AB\Rightarrow OX\bot AB\Rightarrow OM\bot SX.$
$\dfrac{SM}{SX}=\dfrac{SM.SX}{S{{\text{X}}^{2}}}=\dfrac{S{{O}^{2}}}{S{{O}^{2}}+O{{X}^{2}}}=\dfrac{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}+O{{X}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{2}.$
Lại có ${{V}_{O.MNPQ}}=\dfrac{1}{3}d\left( O,\left( MNPQ \right) \right).{{S}_{MNPQ}}=$
$=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}d\left( S,\left( ABCD \right) \right)\left( {{S}_{MNP}}+{{S}_{PQM}} \right)$
$=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}d\left( S,\left( ABCD \right) \right).\dfrac{1}{8}.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{16}.\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{12}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
C. $\dfrac{16{{a}^{3}}}{81}.$
D. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{81}.$
Gọi X là trung điểm $AB\Rightarrow OX\bot AB\Rightarrow OM\bot SX.$
$\dfrac{SM}{SX}=\dfrac{SM.SX}{S{{\text{X}}^{2}}}=\dfrac{S{{O}^{2}}}{S{{O}^{2}}+O{{X}^{2}}}=\dfrac{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}+O{{X}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{2}.$
Lại có ${{V}_{O.MNPQ}}=\dfrac{1}{3}d\left( O,\left( MNPQ \right) \right).{{S}_{MNPQ}}=$
$=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}d\left( S,\left( ABCD \right) \right)\left( {{S}_{MNP}}+{{S}_{PQM}} \right)$
$=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}d\left( S,\left( ABCD \right) \right).\dfrac{1}{8}.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{16}.\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{12}.$
Đáp án A.