Google
Câu hỏi: Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh bên bằng cạnh đáy. Hỏi góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A. $89{}^\circ 3{1}'$.
B. $61{}^\circ 2{8}'$.
C. $70{}^\circ 3{2}'$.
D. $109{}^\circ 2{9}'$.
Gọi $M$ là trung điểm của $SA$.
Vì các cạnh bên bằng nhau và bằng cạnh đáy nên các mặt bên là các tam giác đều
$\Rightarrow SA\bot BM;SA\bot DM$. Mà $\left( SAB \right)\cap \left( SAD \right)=SA$
$\Rightarrow $ góc giữa hai mp $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ bằng góc giữa $BM$ và $DM$.
Đặt $SA=a$, ta có $BD=a\sqrt{2};BM=DM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Xét tam giác $BDM$ ta có $\cos \widehat{BMD}=\dfrac{B{{M}^{2}}+D{{M}^{2}}-B{{D}^{2}}}{2.BM.DM}=\dfrac{\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}-2{{a}^{2}}}{2.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=-\dfrac{1}{3}$.
Do đó $\cos \left( BM,DM \right)=\dfrac{1}{3}\Rightarrow $ góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ gần bằng $70{}^\circ 3{2}'$.
A. $89{}^\circ 3{1}'$.
B. $61{}^\circ 2{8}'$.
C. $70{}^\circ 3{2}'$.
D. $109{}^\circ 2{9}'$.
Vì các cạnh bên bằng nhau và bằng cạnh đáy nên các mặt bên là các tam giác đều
$\Rightarrow SA\bot BM;SA\bot DM$. Mà $\left( SAB \right)\cap \left( SAD \right)=SA$
$\Rightarrow $ góc giữa hai mp $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ bằng góc giữa $BM$ và $DM$.
Đặt $SA=a$, ta có $BD=a\sqrt{2};BM=DM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Xét tam giác $BDM$ ta có $\cos \widehat{BMD}=\dfrac{B{{M}^{2}}+D{{M}^{2}}-B{{D}^{2}}}{2.BM.DM}=\dfrac{\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}+\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}-2{{a}^{2}}}{2.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}=-\dfrac{1}{3}$.
Do đó $\cos \left( BM,DM \right)=\dfrac{1}{3}\Rightarrow $ góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAB \right)$ và $\left( SAD \right)$ gần bằng $70{}^\circ 3{2}'$.
Đáp án C.