Google
Câu hỏi: Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh bằng $a$, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $60{}^\circ $. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}\cdot $
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}\cdot $
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}\cdot $
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}\cdot $
Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO\bot \left( ABCD \right).$
Ta có $\left( \widehat{SB , \left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SB , OB} \right)=\widehat{SBO}=60{}^\circ .$
Ta có : $BO=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}.$
Tam giác $SBO$ vuông tại $O$ : $SO=BO\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\sqrt{3}=a\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}.$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}\cdot $
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}\cdot $
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}\cdot $
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}\cdot $
Ta có $\left( \widehat{SB , \left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SB , OB} \right)=\widehat{SBO}=60{}^\circ .$
Ta có : $BO=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}.$
Tam giác $SBO$ vuông tại $O$ : $SO=BO\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\sqrt{3}=a\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}.$
Đáp án B.