Cho hình chóp đều S.ABC có $\widehat{ASB}={30}^o,SA=1$. Lấy...

Cắt tứ diện theo các cạnh SA, AC, AB rồi trải lên mặt phẳng (SBC)

Tam giác SBC giữ nguyên, tam giác SAB lật thành tam giác SAB; tam giác SAC thành tam giác SCA'.
Do đó: $A{C}^{\prime }=A^{\prime }{C}^{\prime };S{A}^{\prime }=SA=1$
$\widehat{A_{1}S{A}_2}=\widehat{A_{1}SB}+\widehat{BSC}+\widehat{CS{A}_2}=3.30={90}^o$ và $S{A}^{\prime }=SA=1$ nên $\mathrm{\Delta }SA{A}^{\prime }$ là tam giác vuông cân.
$C_{A{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=A{B}^{\prime }+B^{\prime }{C}^{\prime }+A{C}^{\prime }=A{B}^{\prime }+B^{\prime }{C}^{\prime }+A^{\prime }{C}^{\prime }\ge A{A}^{\prime }=\sqrt{2}$ không đổi,
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A, B', C', A' thẳng hàng tức là khi $B^{\prime }\equiv B_o,C^{\prime }\equiv C_o$
Ta có ${\displaystyle \frac{S{B}^{\prime }}{SB}}={\displaystyle \frac{S{B}_o}{SB}}={\displaystyle \frac{S{B}_0}{SA}}={\displaystyle \frac{\sin \widehat{SA{B}_o}}{\sin \widehat{S{B}_{o}A}}}={\displaystyle \frac{\sin {45}^o}{\sin {105}^o}}=-1+\sqrt{3}$
Vậy ${\displaystyle \frac{V_{S.A{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}{V_{S.ABC}}}={\displaystyle \frac{S{B}^{\prime }}{SB}}.{\displaystyle \frac{S{C}^{\prime }}{SC}}={\left({\displaystyle \frac{S{B}^{\prime }}{SB}}\right)}^2=4-2\sqrt{3}\Rightarrow 3a+4b=4$