Google
Câu hỏi: Cho hình chóp đều S.ABC có $\widehat{ASB}={{30}^{o}},SA=1$. Lấy điểm B', C' lần lượt thuộc cạnh SB, SC sao cho chu vi tam giác AB'C' là nhỏ nhất. Tỉ số $\dfrac{{{V}_{S.AB'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=a+b\sqrt{3},\left( a,b\in \mathbb{Z} \right)$. Giá trị $3a+4b$ bằng
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 4.
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 4.
Cắt tứ diện theo các cạnh SA, AC, AB rồi trải lên mặt phẳng (SBC)
Tam giác SBC giữ nguyên, tam giác SAB lật thành tam giác SAB; tam giác SAC thành tam giác SCA'.
Do đó: $AC'=A'C';SA'=SA=1$
$\widehat{{{A}_{1}}S{{A}_{2}}}=\widehat{{{A}_{1}}SB}+\widehat{BSC}+\widehat{CS{{A}_{2}}}=3.30={{90}^{o}}$ và $SA'=SA=1$ nên $\Delta SAA'$ là tam giác vuông cân.
${{C}_{AB'C'}}=AB'+B'C'+AC'=AB'+B'C'+A'C'\ge AA'=\sqrt{2}$ không đổi,
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A, B', C', A' thẳng hàng tức là khi $B'\equiv {{B}_{o}},C'\equiv {{C}_{o}}$
Ta có $\dfrac{SB'}{SB}=\dfrac{S{{B}_{o}}}{SB}=\dfrac{S{{B}_{0}}}{SA}=\dfrac{\sin \widehat{SA{{B}_{o}}}}{\sin \widehat{S{{B}_{o}}A}}=\dfrac{\sin {{45}^{o}}}{\sin {{105}^{o}}}=-1+\sqrt{3}$
Vậy $\dfrac{{{V}_{S.AB'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SB'}{SB}.\dfrac{SC'}{SC}={{\left( \dfrac{SB'}{SB} \right)}^{2}}=4-2\sqrt{3}\Rightarrow 3a+4b=4$
Tam giác SBC giữ nguyên, tam giác SAB lật thành tam giác SAB; tam giác SAC thành tam giác SCA'.
Do đó: $AC'=A'C';SA'=SA=1$
$\widehat{{{A}_{1}}S{{A}_{2}}}=\widehat{{{A}_{1}}SB}+\widehat{BSC}+\widehat{CS{{A}_{2}}}=3.30={{90}^{o}}$ và $SA'=SA=1$ nên $\Delta SAA'$ là tam giác vuông cân.
${{C}_{AB'C'}}=AB'+B'C'+AC'=AB'+B'C'+A'C'\ge AA'=\sqrt{2}$ không đổi,
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A, B', C', A' thẳng hàng tức là khi $B'\equiv {{B}_{o}},C'\equiv {{C}_{o}}$
Ta có $\dfrac{SB'}{SB}=\dfrac{S{{B}_{o}}}{SB}=\dfrac{S{{B}_{0}}}{SA}=\dfrac{\sin \widehat{SA{{B}_{o}}}}{\sin \widehat{S{{B}_{o}}A}}=\dfrac{\sin {{45}^{o}}}{\sin {{105}^{o}}}=-1+\sqrt{3}$
Vậy $\dfrac{{{V}_{S.AB'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SB'}{SB}.\dfrac{SC'}{SC}={{\left( \dfrac{SB'}{SB} \right)}^{2}}=4-2\sqrt{3}\Rightarrow 3a+4b=4$
Đáp án D.