Google
Câu hỏi: Cho hình chóp đều $S.ABC$ có $\widehat{ASB}={{30}^{0}},SA=1$. Lấy ${B}',{C}'$ lần lượt thuộc các cạnh $SB,SC$ sao cho chu vi tam giác $A{B}'{C}'$ nhỏ nhất. Tỉ số $\dfrac{{{V}_{S.A{B}'{C}'}}}{{{V}_{S.ABC}}}$ gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?
A. $0,5$.
B. $0,6$.
C. $0,55$.
D. $0,65$.
Trải hình, ta có $A\equiv {A}',SA=SB=1$, $\widehat{ASB}={{30}^{0}}$ $\Rightarrow \Delta SA{A}'$ vuông cân tại $S$ $\Rightarrow \widehat{SA{A}'}=45{}^\circ $.
Ta có chu vi $\Delta A{B}'{C}'$ là $2p=A{B}'+A{C}'+{B}'{C}'\ge A{A}'$.
Do đó chu vi $\Delta A{B}'{C}'$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow {B}',{C}'\in A{A}'$.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là giao điểm của $SI$ và ${B}'{C}'$.
Ta có $SH=SA.\sin \widehat{SAH}=1.\sin 45{}^\circ =\dfrac{\sqrt{2}}{2};SI=SB.\sin \widehat{SBI}=1.\sin 75{}^\circ =\dfrac{\sqrt{2}}{4}\left( 1+\sqrt{3} \right)$.
Vì ${B}'{C}'//BC$ nên $\dfrac{{{V}_{S.A{B}'{C}'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{S{B}'}{SB}.\dfrac{S{C}'}{SC}=\dfrac{SH}{SI}.\dfrac{SH}{SI}={{\left( \dfrac{SH}{SI} \right)}^{2}}=4-2\sqrt{3}$.
A. $0,5$.
B. $0,6$.
C. $0,55$.
D. $0,65$.
Ta có chu vi $\Delta A{B}'{C}'$ là $2p=A{B}'+A{C}'+{B}'{C}'\ge A{A}'$.
Do đó chu vi $\Delta A{B}'{C}'$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow {B}',{C}'\in A{A}'$.
Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là giao điểm của $SI$ và ${B}'{C}'$.
Ta có $SH=SA.\sin \widehat{SAH}=1.\sin 45{}^\circ =\dfrac{\sqrt{2}}{2};SI=SB.\sin \widehat{SBI}=1.\sin 75{}^\circ =\dfrac{\sqrt{2}}{4}\left( 1+\sqrt{3} \right)$.
Vì ${B}'{C}'//BC$ nên $\dfrac{{{V}_{S.A{B}'{C}'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{S{B}'}{SB}.\dfrac{S{C}'}{SC}=\dfrac{SH}{SI}.\dfrac{SH}{SI}={{\left( \dfrac{SH}{SI} \right)}^{2}}=4-2\sqrt{3}$.
Đáp án C.