Cho hình chóp đều S. ABC có góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60°...

Phương pháp:
- Hình chiếu của đỉnh xuống mặt đáy của hình chóp đều là tâm của đáy.
- Tìm góc tạo bởi giữa mặt đáy và mặt bên.
- Tìm góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và ( SAC) .
- Sử dụng giả thiết khoảng cách từ Hđến SAbằng $\dfrac{a}{\sqrt{7}}$ để tìm các cạnh của hình chóp và giải bài toán. ​

Cách giải:
Vì S.ABClà hình chóp đều nên $\left\{ \begin{aligned}
& SA=SB=SC \\
& AB=AC=BC \\
\end{aligned} \right.$ và Hlà tâm của mặt đáy ABC.
Gọi Mlà trung điểm của BC.
Tam giác ABClà tam giác đều nên AM⊥ BCvà $AH=\dfrac{2}{3}AM$
Tam giác SBCcân tại Snên SM⊥ BC

Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC \\
& SM\subset \left( SBC \right),SM\bot BC\Rightarrow \left( SBC \right),\left( ABC \right)=SMA\Rightarrow SMA={{60}^{0}} \\
& AM\subset \left( ABC \right),AM\bot BC \\
\end{aligned} \right.$
Qua H,kẻ HI⊥ SA( I∈ SA), từ giả thiết suy ra $HI=\dfrac{a}{\sqrt{7}}$
Tam giác SHMvuông tại Hnên \tan $SMH=\dfrac{SH}{HM}\Rightarrow \dfrac{SH}{HM}=\sqrt{3}\Rightarrow SH=\sqrt{3}HM=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AH$

Tam giác SHAvuông tại Hcó HI⊥ SAnên ta có:
$\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{{{a}^{2}}}{7}}=\dfrac{1}{\dfrac{3}{4}A{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{7}{{{a}^{2}}}=\dfrac{7}{3A{{H}^{2}}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AH=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a \\
& SH=\dfrac{a}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Qua A,kẻ AK⊥ SB( K∈ SB) (1) .
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BH\bot AC \\
& SH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SH\bot AC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AC\bot \left( SBH \right)\Rightarrow AC\bot SB\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra SB⊥( AKC) ⇒ SB⊥ KC.
Do đó, góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và ( SAC) cũng là góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và ( SBC) và là góc giữa hai đường thẳng AKvà KC.
Ta có:
$\begin{aligned}
& SA=SB=SC=\sqrt{A{{H}^{2}}+S{{H}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{21}a}{6} \\
& AB=AC=BC=\dfrac{2}{\sqrt{3}}AM=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.\dfrac{3}{2}AH=a \\
& \Rightarrow {{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}{{a}^{2}}\Rightarrow AK=KC=\dfrac{2{{S}_{\Delta SAB}}}{SB}=\dfrac{2\sqrt{7}a}{7} \\
\end{aligned}$
Do đó, $\cos AKC=\dfrac{A{{K}^{2}}+K{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}{2AK.KC}=\dfrac{1}{8}\Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{1}{8}$
Suy ra \tan $\dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{\sqrt{7}}{3}$