Google
Câu hỏi: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$ và O là tâm của đáy. Mặt
phẳng (P) thay đổi chứa SO và cắt các đoạn thẳng AB, AC lần lượt tại các điểm M, N (M, N khác A). Khi góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (P) có số đo lớn nhất, hãy tính $A{{M}^{2}}+A{{N}^{2}}$.
A. ${{a}^{2}}.$
B. $\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}.$
C. $\dfrac{369{{a}^{2}}}{400}.$
D. $\dfrac{8{{a}^{2}}}{9}.$
Gọi H là hình chiếu của A trên MN, ta có
$AH\bot MN,AH\bot SO\Rightarrow AH\bot \left( SMN \right)$
$\Rightarrow $ H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (SMN).
$\Rightarrow $ Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SMN) là góc HSA
Do góc $0{}^\circ <\widehat{HSA}<90{}^\circ $ nên $\widehat{HSA}$ lớn nhất khi $\sin \widehat{HSA}$ lớn nhất
Ta có $\sin \widehat{HSA}=\dfrac{AH}{SA}\le \dfrac{OA}{SA}\le \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{3}}{\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}}\le \dfrac{1}{2}$
Vậy $\sin \widehat{HSA}$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{1}{2}$ khi $H\equiv O$
Hay góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất khi $MN\bot AO$
Khi đó đường thẳng MN đi qua O và song song với BC.
$\Rightarrow AM=AN=\dfrac{2}{3}a\Rightarrow A{{M}^{2}}+A{{N}^{2}}=\dfrac{8{{a}^{2}}}{9}$
phẳng (P) thay đổi chứa SO và cắt các đoạn thẳng AB, AC lần lượt tại các điểm M, N (M, N khác A). Khi góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (P) có số đo lớn nhất, hãy tính $A{{M}^{2}}+A{{N}^{2}}$.
A. ${{a}^{2}}.$
B. $\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}.$
C. $\dfrac{369{{a}^{2}}}{400}.$
D. $\dfrac{8{{a}^{2}}}{9}.$
Gọi H là hình chiếu của A trên MN, ta có
$AH\bot MN,AH\bot SO\Rightarrow AH\bot \left( SMN \right)$
$\Rightarrow $ H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (SMN).
$\Rightarrow $ Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SMN) là góc HSA
Do góc $0{}^\circ <\widehat{HSA}<90{}^\circ $ nên $\widehat{HSA}$ lớn nhất khi $\sin \widehat{HSA}$ lớn nhất
Ta có $\sin \widehat{HSA}=\dfrac{AH}{SA}\le \dfrac{OA}{SA}\le \dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{3}}{\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}}\le \dfrac{1}{2}$
Vậy $\sin \widehat{HSA}$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{1}{2}$ khi $H\equiv O$
Hay góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất khi $MN\bot AO$
Khi đó đường thẳng MN đi qua O và song song với BC.
$\Rightarrow AM=AN=\dfrac{2}{3}a\Rightarrow A{{M}^{2}}+A{{N}^{2}}=\dfrac{8{{a}^{2}}}{9}$
Đáp án D.