Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a...

The Knowledge · 21/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

(S B C)

bằng
A.

\frac{a \sqrt{165}}{30} .

B.

\frac{a \sqrt{165}}{45} .

C.

\frac{a \sqrt{165}}{15} .

D.

\frac{2 a \sqrt{165}}{15} .

Kẻ

S H ⊥ (A B C)

, gọi

K = A H \cap B C

.
Kẻ

H P ⊥ S K \Rightarrow d (A; (S B C)) = \frac{3}{2} d (H; (S B C)) = \frac{3}{2} H P = d

.
Ta có

\frac{1}{H P^{2}} = \frac{1}{S H^{2}} + \frac{1}{H K^{2}}

. Cạnh

H K = \frac{A B}{2 \sqrt{3}} = \frac{a}{2 \sqrt{3}}

S H^{2} = S A^{2} - A H^{2} = 4 a^{2} - {(\frac{A B}{\sqrt{3}})}^{2} = \frac{11 a^{2}}{3}

\Rightarrow H P = a \sqrt{\frac{11}{135}} \Rightarrow d (A; (S B C)) = \frac{a \sqrt{165}}{15}

.

Đáp án C.