Câu hỏi: Cho hình chóp đều $S.ABC$ Có $AB=a\sqrt{3}$, khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $\dfrac{3a}{4}$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
Ta có $\dfrac{d(G;(SBC))}{d(A;(SBC))}=\dfrac{GM}{MA}\Leftrightarrow \dfrac{d(G;(SBC))}{d(A;(SBC))}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow d(G;(SBC))=\dfrac{1}{3}d(A;(SBC))=\dfrac{a}{4}$
Hay $GH=\dfrac{a}{4}$
Ta có $\Delta ABC$ là tam giáC đều nên $AM=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3a}{2}$ và $GM=\dfrac{AM}{3}=\dfrac{a}{2}$
Xét $\Delta SGM$ Có $\dfrac{1}{G{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{G}^{2}}}+\dfrac{1}{G{{M}^{2}}}\Leftrightarrow S{{G}^{2}}=\dfrac{G{{H}^{2}}.G{{M}^{2}}}{G{{M}^{2}}-G{{H}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{12}\Rightarrow SG=\dfrac{a}{2\sqrt{3}}$
Vậy thể tích khối Chóp $V=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SG=\dfrac{1}{3}\dfrac{{{(a\sqrt{3})}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a}{2\sqrt{3}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}}{8}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.
Ta có $\dfrac{d(G;(SBC))}{d(A;(SBC))}=\dfrac{GM}{MA}\Leftrightarrow \dfrac{d(G;(SBC))}{d(A;(SBC))}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow d(G;(SBC))=\dfrac{1}{3}d(A;(SBC))=\dfrac{a}{4}$
Hay $GH=\dfrac{a}{4}$
Ta có $\Delta ABC$ là tam giáC đều nên $AM=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3a}{2}$ và $GM=\dfrac{AM}{3}=\dfrac{a}{2}$
Xét $\Delta SGM$ Có $\dfrac{1}{G{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{G}^{2}}}+\dfrac{1}{G{{M}^{2}}}\Leftrightarrow S{{G}^{2}}=\dfrac{G{{H}^{2}}.G{{M}^{2}}}{G{{M}^{2}}-G{{H}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{12}\Rightarrow SG=\dfrac{a}{2\sqrt{3}}$
Vậy thể tích khối Chóp $V=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SG=\dfrac{1}{3}\dfrac{{{(a\sqrt{3})}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a}{2\sqrt{3}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
Đáp án B.