Cho hình chóp đều S.ABC có $A B = 2 a$ , khoảng cách từ A đến $\left(...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho hình chóp đều S.ABC có

A B = 2 a

, khoảng cách từ A đến

(S B C)

là

\frac{3 a}{2}

. Thể tích hình chóp S.ABC là
A.

a^{3} \sqrt{3}

.
B.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}

.
C.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}

.
D.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}

.

Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm

Δ A B C

.

Ta có:

S G ⊥ (A B C) \Rightarrow S G ⊥ B C

. Mà

A M ⊥ B C

nên

B C ⊥ (S A M)

.
Kẻ

A H ⊥ S M

tại H. Suy ra:

A H ⊥ (S B C)

\Rightarrow d (A, (S B C)) = A H = \frac{3 a}{2}

.
Ta có:

A M = a \sqrt{3}, G M = \frac{a \sqrt{3}}{3}

.
Đặt

S G = x

với

x > 0

.
Ta có:

S M = \sqrt{S G^{2} + G M^{2}} = \sqrt{x^{2} + \frac{a^{2}}{3}}

.
Mặt khác:

S G . A M = A H . S M \Rightarrow x . a \sqrt{3} = \frac{3 a}{2} . \sqrt{x^{2} + \frac{a^{2}}{3}} \Leftrightarrow x^{2} = \frac{3}{4} (x^{2} + \frac{a^{2}}{3}) \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{4} \Rightarrow x = a

.
Lại có

S_{Δ A B C} = \frac{{(2 a)}^{2} . \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} a^{2}

.
Vậy

V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . S G = \frac{1}{3} . \sqrt{3} a^{2} . a = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{3}

.

Đáp án D.

Cho hình chóp đều S.ABC có AB=2a, khoảng cách từ A đến $\left(...