Google
Câu hỏi: Cho hình chóp đều S.ABC có $AB=2a$, khoảng cách từ A đến $\left( SBC \right)$ là $\dfrac{3a}{2}$. Thể tích hình chóp S.ABC là
A. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
A. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm $\Delta ABC$.
Ta có: $SG\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SG\bot BC$. Mà $AM\bot BC$ nên $BC\bot \left( SAM \right)$.
Kẻ $AH\bot SM$ tại H. Suy ra: $AH\bot \left( SBC \right)$
$\Rightarrow d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH=\dfrac{3a}{2}$.
Ta có: $AM=a\sqrt{3},GM=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Đặt $SG=x$ với $x>0$.
Ta có: $SM=\sqrt{S{{G}^{2}}+G{{M}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}$.
Mặt khác: $SG.AM=AH.SM\Rightarrow x.a\sqrt{3}=\dfrac{3a}{2}.\sqrt{{{x}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{3}{4}\left( {{x}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{3} \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow x=a$.
Lại có ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{\left( 2a \right)}^{2}}.\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}{{a}^{2}}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SG=\dfrac{1}{3}.\sqrt{3}{{a}^{2}}.a=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
Ta có: $SG\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SG\bot BC$. Mà $AM\bot BC$ nên $BC\bot \left( SAM \right)$.
Kẻ $AH\bot SM$ tại H. Suy ra: $AH\bot \left( SBC \right)$
$\Rightarrow d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH=\dfrac{3a}{2}$.
Ta có: $AM=a\sqrt{3},GM=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Đặt $SG=x$ với $x>0$.
Ta có: $SM=\sqrt{S{{G}^{2}}+G{{M}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}$.
Mặt khác: $SG.AM=AH.SM\Rightarrow x.a\sqrt{3}=\dfrac{3a}{2}.\sqrt{{{x}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{3}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{3}{4}\left( {{x}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{3} \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow x=a$.
Lại có ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{\left( 2a \right)}^{2}}.\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}{{a}^{2}}$.
Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SG=\dfrac{1}{3}.\sqrt{3}{{a}^{2}}.a=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án D.