Google
Câu hỏi: Cho hình cầu bán kính $R$. Trong số các hình nón nội tiếp hình cầu đó, hình nón có chiều cao bằng $\dfrac{m}{n}R$, trong đó $m,n$ nguyên dương và phân số $\dfrac{m}{n}$ tối giản, là hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất, thể tích khối nón tương ứng bằng
A. $\dfrac{8m\pi {{R}^{3}}}{27n}.$
B. $\dfrac{2m\pi {{R}^{3}}}{9n}.$
C. $\dfrac{8m\pi {{R}^{3}}}{9n}.$
D. $\dfrac{2m\pi {{R}^{3}}}{3n}.$
Gọi $O,I$ lần lượt là tâm của hình cầu và đường tròn đáy của hình nón, còn $S$ là đỉnh của hình nón, ${S}'$ là điểm đối xứng với $S$ qua $O$ và $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa đường tròn đáy của hình nón. Đặt $SI=h\left( 0<h<2R \right)$.
Giả sử $SA$ là một đường sinh của hình nón.
Khi đó $A$ thuộc mặt cầu tâm $O$, bán kính $R$ và $\widehat{SA{S}'}=90{}^\circ $.
Ta có tam giác $SA{S}'$ vuông tại $A$ và có đường cao $AI$ nên $S{{A}^{2}}=SI.S{S}'=2R.h$ hay $SA=\sqrt{2Rh}.$
Mặt khác $A{{I}^{2}}=SI.I{S}'=h\left( 2R-h \right)$ nên $AI=\sqrt{h\left( 2R-h \right)}.$
Diện tích xung quanh của hình nón là
$h.h.\left( 4\text{R}-2h \right)\le {{\left( \dfrac{h+h+4\text{R}-2h}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{64{{\text{R}}^{3}}}{27}$ hay $\sqrt{{{h}^{2}}\left( 4\text{R}-2h \right)}\le \dfrac{8\text{R}\sqrt{3\text{R}}}{9}$
Đẳng thức xảy ra khi $h=4R-2h\Leftrightarrow h=\dfrac{4}{3}R.$
Suy ra ${{S}_{xq}}$ lớn nhất khi và chỉ khi $h=\dfrac{4}{3}R=\dfrac{m}{n}R\Rightarrow \dfrac{m}{n}=\dfrac{4}{3}.$
Khi đó $IA=\dfrac{2\sqrt{2}R}{3}$ và thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi I{{A}^{2}}.h=\dfrac{8\pi }{27}.\dfrac{4}{3}{{R}^{3}}=\dfrac{8\pi }{27}.\dfrac{m}{n}{{R}^{3}}.$
A. $\dfrac{8m\pi {{R}^{3}}}{27n}.$
B. $\dfrac{2m\pi {{R}^{3}}}{9n}.$
C. $\dfrac{8m\pi {{R}^{3}}}{9n}.$
D. $\dfrac{2m\pi {{R}^{3}}}{3n}.$
Giả sử $SA$ là một đường sinh của hình nón.
Khi đó $A$ thuộc mặt cầu tâm $O$, bán kính $R$ và $\widehat{SA{S}'}=90{}^\circ $.
Ta có tam giác $SA{S}'$ vuông tại $A$ và có đường cao $AI$ nên $S{{A}^{2}}=SI.S{S}'=2R.h$ hay $SA=\sqrt{2Rh}.$
Mặt khác $A{{I}^{2}}=SI.I{S}'=h\left( 2R-h \right)$ nên $AI=\sqrt{h\left( 2R-h \right)}.$
Diện tích xung quanh của hình nón là
${{S}_{xq}}=\pi .IA.SA=\pi \sqrt{h\left( 2R-h \right)}.\sqrt{2\text{R}h}=\pi \sqrt{R}.\sqrt{{{h}^{2}}\left( 4R-2h \right)}.$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có$h.h.\left( 4\text{R}-2h \right)\le {{\left( \dfrac{h+h+4\text{R}-2h}{3} \right)}^{3}}=\dfrac{64{{\text{R}}^{3}}}{27}$ hay $\sqrt{{{h}^{2}}\left( 4\text{R}-2h \right)}\le \dfrac{8\text{R}\sqrt{3\text{R}}}{9}$
Đẳng thức xảy ra khi $h=4R-2h\Leftrightarrow h=\dfrac{4}{3}R.$
Suy ra ${{S}_{xq}}$ lớn nhất khi và chỉ khi $h=\dfrac{4}{3}R=\dfrac{m}{n}R\Rightarrow \dfrac{m}{n}=\dfrac{4}{3}.$
Khi đó $IA=\dfrac{2\sqrt{2}R}{3}$ và thể tích khối nón là $V=\dfrac{1}{3}\pi I{{A}^{2}}.h=\dfrac{8\pi }{27}.\dfrac{4}{3}{{R}^{3}}=\dfrac{8\pi }{27}.\dfrac{m}{n}{{R}^{3}}.$
Đáp án A.