Google
Câu hỏi: Cho hệ phương trinh $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{4}^{x-y}}-{{2}^{2y}}+x-2y=0 \\
{{4}^{x}}+1=\left( {{m}^{2}}+2 \right)\sqrt{1-{{y}^{2}}}{{.4}^{y}} \\
\end{array} \right. $, $ m $ là tham số. Gọi $ S $là tập giá trị $ m $nguyên để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Số phần tử cùa tập $ S$ là
A. $3.$
B. $0.$
C. $1.$
D. $2.$
{{4}^{x-y}}-{{2}^{2y}}+x-2y=0 \\
{{4}^{x}}+1=\left( {{m}^{2}}+2 \right)\sqrt{1-{{y}^{2}}}{{.4}^{y}} \\
\end{array} \right. $, $ m $ là tham số. Gọi $ S $là tập giá trị $ m $nguyên để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Số phần tử cùa tập $ S$ là
A. $3.$
B. $0.$
C. $1.$
D. $2.$
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{4}^{x-y}}-{{2}^{2y}}+x-2y=0\ \left( 1 \right) \\
{{4}^{x}}+1=\left( {{m}^{2}}+2 \right)\sqrt{1-{{y}^{2}}}{{.4}^{y}}\ \left( 2 \right) \\
\end{array} \right.$.
Điều kiện của hệ phương trình $1-{{y}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow -1\le y\le 1.$
${{4}^{x-y}}-{{2}^{2y}}+x-2y=0\Leftrightarrow {{4}^{x-y}}+x-y={{4}^{y}}+y$.
Đặt $f\left( t \right)={{4}^{t}}+t\Rightarrow {f}'\left( t \right)={{4}^{t}}.\ln 4+1>0,\forall t\in \left[ -1;1 \right]$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( t \right)>0,\ \forall t\in \left[ -1;1 \right] \\
& f\left( x-y \right)=f\left( y \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x-y=y\Leftrightarrow x=2y.$
Thay $2y=x$ vào phương trình (2) ta được. ${{4}^{x}}+1=\dfrac{\left( {{m}^{2}}+2 \right)}{2}\sqrt{4-{{x}^{2}}}{{.2}^{x}}\ ,\left( -2\le x\le 2 \right)$.
Giả sử ${{x}_{0}}$ là nghiệm ta có ${{4}^{{{x}_{0}}}}+1=\dfrac{\left( {{m}^{2}}+2 \right)}{2}\sqrt{4-{{x}_{0}}^{2}}{{.2}^{{{x}_{0}}}}$.
Xét $-{{x}_{0}}$ thay vào phương trình ${{4}^{-{{x}_{0}}}}+1=\dfrac{\left( {{m}^{2}}+2 \right)}{2}\sqrt{4-{{x}_{0}}^{2}}{{.2}^{-{{x}_{0}}}}\ \Leftrightarrow 1+{{4}^{{{x}_{0}}}}=\dfrac{\left( {{m}^{2}}+2 \right)}{2}\sqrt{4-{{x}_{0}}^{2}}{{.2}^{{{x}_{0}}}}$.Do đó $-{{x}_{0}}$ cũng là nghiệm của phương trình. Do hệ có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất khi ${{x}_{0}}=0$. Khi đó $m=0.$
Thay $m=0$ vào (2) ta được ${{4}^{x}}+1=\sqrt{4-{{x}^{2}}}{{.2}^{x}}\Leftrightarrow {{2}^{x}}+\dfrac{1}{{{2}^{x}}}=\sqrt{4-{{x}^{2}}}.$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{x}}+\dfrac{1}{{{2}^{x}}}\ge 2 \\
& \sqrt{4-{{x}^{2}}}\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $Để phương trình có nghiệm khi $ x=0$.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi $m=0.$
{{4}^{x-y}}-{{2}^{2y}}+x-2y=0\ \left( 1 \right) \\
{{4}^{x}}+1=\left( {{m}^{2}}+2 \right)\sqrt{1-{{y}^{2}}}{{.4}^{y}}\ \left( 2 \right) \\
\end{array} \right.$.
Điều kiện của hệ phương trình $1-{{y}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow -1\le y\le 1.$
${{4}^{x-y}}-{{2}^{2y}}+x-2y=0\Leftrightarrow {{4}^{x-y}}+x-y={{4}^{y}}+y$.
Đặt $f\left( t \right)={{4}^{t}}+t\Rightarrow {f}'\left( t \right)={{4}^{t}}.\ln 4+1>0,\forall t\in \left[ -1;1 \right]$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( t \right)>0,\ \forall t\in \left[ -1;1 \right] \\
& f\left( x-y \right)=f\left( y \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow x-y=y\Leftrightarrow x=2y.$
Thay $2y=x$ vào phương trình (2) ta được. ${{4}^{x}}+1=\dfrac{\left( {{m}^{2}}+2 \right)}{2}\sqrt{4-{{x}^{2}}}{{.2}^{x}}\ ,\left( -2\le x\le 2 \right)$.
Giả sử ${{x}_{0}}$ là nghiệm ta có ${{4}^{{{x}_{0}}}}+1=\dfrac{\left( {{m}^{2}}+2 \right)}{2}\sqrt{4-{{x}_{0}}^{2}}{{.2}^{{{x}_{0}}}}$.
Xét $-{{x}_{0}}$ thay vào phương trình ${{4}^{-{{x}_{0}}}}+1=\dfrac{\left( {{m}^{2}}+2 \right)}{2}\sqrt{4-{{x}_{0}}^{2}}{{.2}^{-{{x}_{0}}}}\ \Leftrightarrow 1+{{4}^{{{x}_{0}}}}=\dfrac{\left( {{m}^{2}}+2 \right)}{2}\sqrt{4-{{x}_{0}}^{2}}{{.2}^{{{x}_{0}}}}$.Do đó $-{{x}_{0}}$ cũng là nghiệm của phương trình. Do hệ có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất khi ${{x}_{0}}=0$. Khi đó $m=0.$
Thay $m=0$ vào (2) ta được ${{4}^{x}}+1=\sqrt{4-{{x}^{2}}}{{.2}^{x}}\Leftrightarrow {{2}^{x}}+\dfrac{1}{{{2}^{x}}}=\sqrt{4-{{x}^{2}}}.$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{x}}+\dfrac{1}{{{2}^{x}}}\ge 2 \\
& \sqrt{4-{{x}^{2}}}\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $Để phương trình có nghiệm khi $ x=0$.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi $m=0.$
Đáp án C.