Cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{aligned} &...

Điều kiện xác định: $x\ge -1$.
Ta có: $3^{2x+\sqrt{x+1}}-3^{2+\sqrt{x+1}}+2020x-2020\le 0\iff 3^{2x+\sqrt{x+1}}+2020x\le 3^{2+\sqrt{x+1}}+2020$
$\iff 3^{2x+\sqrt{x+1}}+1010(2x+\sqrt{x+1})\le 3^{2+\sqrt{x+1}}+1010(2+\sqrt{x+1})$.
Xét hàm số $f\left(t\right)=3^t+1010t$ trên $\mathbb{R}$.
Dễ dàng nhận thấy $f^{\prime }\left(t\right)>0,\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R}$, suy ra hàm số $f\left(t\right)=3^t+1010t$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $f(2x+\sqrt{x+1})\le f(2+\sqrt{x+1})\iff 2x+\sqrt{x+1}\le 2+\sqrt{x+1}\iff -1\le x\le 1$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình $3^{2x+\sqrt{x+1}}-3^{2+\sqrt{x+1}}+2020x-2020\le 0$ là $[-1;1]$.
Hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình $x^2-(m+2)x-m^2+3\ge 0$ có nghiệm thuộc đoạn $[-1;1]$. Gọi $g(x,m)=x^2-(m+2)x-m^2+3$.
TH1: $\mathrm{\Delta }={(m+2)}^2+4m^2-12\le 0\iff 5m^2+4m-8\le 0\iff {\displaystyle \frac{-2-2\sqrt{11}}{5}}\le m\le {\displaystyle \frac{-2+2\sqrt{11}}{5}}$, khi đó $g(x,m)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ (thỏa điều kiện đề bài).
TH2: $\mathrm{\Delta }={(m+2)}^2+4m^2-12>0[\begin{array}{rl}& m>{\displaystyle \frac{-2+2\sqrt{11}}{5}}\\ & m<{\displaystyle \frac{-2-2\sqrt{11}}{5}}\end{array}$, khi đó $g(x,m)=0$ có hai nghiệm $x_1<x_2$.
Để $g(x,m)\ge 0$ có nghiệm thuộc đoạn $[-1;1]$ khi $[\begin{array}{rl}& x_1<x_2\le 1\\ & -1\le x_1<x_2\end{array}$.
KN1: Xét $x_1<x_2\le 1$, tức là $\{\begin{array}{rl}& g(1,m)\ge 0\\ & {\displaystyle \frac{m+2}{2}}<1\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& -m^2-m+2\ge 0\\ & m<0\end{array}\iff -2\le m<0$.
KN2: Xét $-1\le x_1<x_2$, tức là $\{\begin{array}{rl}& g(-1,m)\ge 0\\ & {\displaystyle \frac{m+2}{2}}>-1\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& -m^2+m+6\ge 0\\ & m>-4\end{array}\iff -2\le m\le 3$.
Từ các trường hợp (1) và (2) vậy ta có $m\in [-2;3]$ thì hệ bất phương trình trên có nghiệm.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên tập hợp $S=\{-2;-1;0;1;2;3\}$.
Vậy tổng các phần tử trong tập hợp $S$ bằng $3$.