Cho hệ bất phương trình $\left\{ \begin{aligned} &...

Điều kiện xác định: $x\ge -1$.
Ta có: ${{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}-{{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2020x-2020\le 0\Leftrightarrow {{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}+2020x\le {{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2020$
$\Leftrightarrow {{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}+1010\left( 2x+\sqrt{x+1} \right)\le {{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+1010\left( 2+\sqrt{x+1} \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}+1010t$ trên $\mathbb{R}$.
Dễ dàng nhận thấy ${f}'\left( t \right)>0, \forall t\in \mathbb{R}$, suy ra hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}+1010t$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $f\left( 2x+\sqrt{x+1} \right)\le f\left( 2+\sqrt{x+1} \right)\Leftrightarrow 2x+\sqrt{x+1}\le 2+\sqrt{x+1}\Leftrightarrow -1\le x\le 1$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình ${{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}-{{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2020x-2020\le 0$ là $\left[ -1 ; 1 \right]$.
Hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình ${{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x-{{m}^{2}}+3\ge 0$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -1 ; 1 \right]$. Gọi $g\left( x,m \right)={{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x-{{m}^{2}}+3$.
TH1: $\Delta ={{\left( m+2 \right)}^{2}}+4{{m}^{2}}-12\le 0\Leftrightarrow 5{{m}^{2}}+4m-8\le 0\Leftrightarrow \dfrac{-2-2\sqrt{11}}{5}\le m\le \dfrac{-2+2\sqrt{11}}{5}$, khi đó $g\left( x,m \right)\ge 0 , \forall x\in \mathbb{R}$ (thỏa điều kiện đề bài).
TH2: $\Delta ={{\left( m+2 \right)}^{2}}+4{{m}^{2}}-12>0\left[ \begin{aligned}
& m>\dfrac{-2+2\sqrt{11}}{5} \\
& m<\dfrac{-2-2\sqrt{11}}{5} \\
\end{aligned} \right. $, khi đó $ g\left( x, m \right)=0 $ có hai nghiệm $ {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$.
Để $g\left( x, m \right)\ge 0$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -1 ; 1 \right]$ khi $\left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 1 \\
& -1\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right.$.
KN1: Xét ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 1$, tức là $\left\{ \begin{aligned}
& g\left( 1,m \right)\ge 0 \\
& \dfrac{m+2}{2}<1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -{{m}^{2}}-m+2\ge 0 \\
& m<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -2\le m<0$.
KN2: Xét $-1\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}}$, tức là $\left\{ \begin{aligned}
& g\left( -1,m \right)\ge 0 \\
& \dfrac{m+2}{2}>-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -{{m}^{2}}+m+6\ge 0 \\
& m>-4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -2\le m\le 3$.
Từ các trường hợp (1) và (2) vậy ta có $m\in \left[ -2 ; 3 \right]$ thì hệ bất phương trình trên có nghiệm.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên tập hợp $S=\left\{ -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 \right\}$.
Vậy tổng các phần tử trong tập hợp $S$ bằng $3$.