Cho hàm $y=f\left(x\right)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau...

$y^{\prime }=3f^{\prime }(x+2)-6x^2-3x+3=3[f^{\prime }(x+2)-(2x^2+x-1)]$.
Đặt $t=x+2\Rightarrow x=t-2$.
Ta có: $f^{\prime }(x+2)-(2x^2+x-1)=f^{\prime }\left(t\right)-(2t^2-7t+5)$
Bảng xét dấu hàm $f^{\prime }\left(t\right)$ và $0<{\displaystyle \frac{x}{x^2+4}}\le {\displaystyle \frac{x}{4x}}={\displaystyle \frac{1}{4}},\mathrm{\forall }x>0$

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:
+ Với $(-\mathrm{\infty };1)$ thì $f^{\prime }\left(t\right)<(2t^2-7t+5),\mathrm{\forall }t<1\iff y^{\prime }<0,\mathrm{\forall }x<-1$ ; loại B.
+ Với $t\in (3;4)\Rightarrow x\in (1;2)$ thì $f^{\prime }\left(t\right)<(2t^2-7t+5),\mathrm{\forall }t\in (3;4)\iff y^{\prime }<0,\mathrm{\forall }x\in (1;2)$ ; loại A, D.
+ Với $t\in (1;{\displaystyle \frac{5}{2}})\iff x\in (-1;{\displaystyle \frac{1}{2}})$ thì $f^{\prime }\left(t\right)>(2t^2-7t+5),\mathrm{\forall }t\in (1;{\displaystyle \frac{5}{2}})\iff y^{\prime }>0,\mathrm{\forall }x\in (-1;{\displaystyle \frac{1}{2}})$.
Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên $(-1;{\displaystyle \frac{1}{2}})$.
Vậy đáp án đúng là đáp án C.