Google
Câu hỏi: Cho hàm $y=f\left( x \right)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
Hàm số $y=3f\left( x+2 \right)-2{{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+3x+2019$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 1;+\infty \right)$.
B. $\left( -\infty ;-1 \right)$.
C. $\left( -1;\dfrac{1}{2} \right)$.
D. $\left( 0;2 \right)$.
Hàm số $y=3f\left( x+2 \right)-2{{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+3x+2019$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?A. $\left( 1;+\infty \right)$.
B. $\left( -\infty ;-1 \right)$.
C. $\left( -1;\dfrac{1}{2} \right)$.
D. $\left( 0;2 \right)$.
${y}'=3{f}'\left( x+2 \right)-6{{x}^{2}}-3x+3=3\left[ {f}'\left( x+2 \right)-\left( 2{{x}^{2}}+x-1 \right) \right]$.
Đặt $t=x+2\Rightarrow x=t-2$.
Ta có: ${f}'\left( x+2 \right)-\left( 2{{x}^{2}}+x-1 \right)={f}'\left( t \right)-\left( 2{{t}^{2}}-7t+5 \right)$
Bảng xét dấu hàm ${f}'\left( t \right)$ và $0<\dfrac{x}{{{x}^{2}}+4}\le \dfrac{x}{4x}=\dfrac{1}{4},\forall x>0$
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:
+ Với $\left( -\infty ;1 \right)$ thì ${f}'\left( t \right)<\left( 2{{t}^{2}}-7t+5 \right),\forall t<1\Leftrightarrow {y}'<0,\forall x<-1$ ; loại B.
+ Với $t\in \left( 3;4 \right)\Rightarrow x\in \left( 1;2 \right)$ thì ${f}'\left( t \right)<\left( 2{{t}^{2}}-7t+5 \right),\forall t\in \left( 3;4 \right)\Leftrightarrow {y}'<0,\forall x\in \left( 1;2 \right)$ ; loại A, D.
+ Với $t\in \left( 1;\dfrac{5}{2} \right)\Leftrightarrow x\in \left( -1;\dfrac{1}{2} \right)$ thì ${f}'\left( t \right)>\left( 2{{t}^{2}}-7t+5 \right),\forall t\in \left( 1;\dfrac{5}{2} \right)\Leftrightarrow {y}'>0,\forall x\in \left( -1;\dfrac{1}{2} \right)$.
Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên $\left( -1;\dfrac{1}{2} \right)$.
Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Đặt $t=x+2\Rightarrow x=t-2$.
Ta có: ${f}'\left( x+2 \right)-\left( 2{{x}^{2}}+x-1 \right)={f}'\left( t \right)-\left( 2{{t}^{2}}-7t+5 \right)$
Bảng xét dấu hàm ${f}'\left( t \right)$ và $0<\dfrac{x}{{{x}^{2}}+4}\le \dfrac{x}{4x}=\dfrac{1}{4},\forall x>0$
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:
+ Với $\left( -\infty ;1 \right)$ thì ${f}'\left( t \right)<\left( 2{{t}^{2}}-7t+5 \right),\forall t<1\Leftrightarrow {y}'<0,\forall x<-1$ ; loại B.
+ Với $t\in \left( 3;4 \right)\Rightarrow x\in \left( 1;2 \right)$ thì ${f}'\left( t \right)<\left( 2{{t}^{2}}-7t+5 \right),\forall t\in \left( 3;4 \right)\Leftrightarrow {y}'<0,\forall x\in \left( 1;2 \right)$ ; loại A, D.
+ Với $t\in \left( 1;\dfrac{5}{2} \right)\Leftrightarrow x\in \left( -1;\dfrac{1}{2} \right)$ thì ${f}'\left( t \right)>\left( 2{{t}^{2}}-7t+5 \right),\forall t\in \left( 1;\dfrac{5}{2} \right)\Leftrightarrow {y}'>0,\forall x\in \left( -1;\dfrac{1}{2} \right)$.
Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên $\left( -1;\dfrac{1}{2} \right)$.
Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Đáp án C.