Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-2x-2m-\dfrac{1}{3}\left( C \right)$. Tham số $m\in \left( 0;\dfrac{5}{6} \right)$ sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đổ thị (C) và các đường x = 0; x = 2; y = 0 bằng 4 có dạng ${{m}_{0}}=\dfrac{a}{b},\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó a - b bằng:
A. 1.
B. -1.
C. 2.
D. -2.
A. 1.
B. -1.
C. 2.
D. -2.
Xét hàm số: $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-2x-2m-\dfrac{1}{3}$
Có: $y'={{x}^{2}}+2mx-2$
$y'={{x}^{2}}+2mx-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-m-\sqrt{{{m}^{2}}+2} \\
& x=-m+\sqrt{{{m}^{2}}+2} \\
\end{aligned} \right.$
Do $m\in \left( 0;\dfrac{5}{6} \right)$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& -m-\sqrt{{{m}^{2}}+2}<0 \\
& 0<-m+\sqrt{{{m}^{2}}+2}<2 \\
\end{aligned} \right.$
Và $\left\{ \begin{aligned}
& y(0)=-2m-\dfrac{1}{3}<0 \\
& y(2)=2m-\dfrac{5}{3}<0 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $y<0,\forall x\in (0;2)$
Vậy $S=4$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{\left| \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-2x-2m-\dfrac{1}{3}\left| dx=4 \right. \right.} \\
& \Leftrightarrow -\int\limits_{0}^{2}{\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-2x-2m-\dfrac{1}{3} \right)}dx=4 \\
& \Leftrightarrow \dfrac{4m+10}{3}=4\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}. \\
\end{aligned}$
Có: $y'={{x}^{2}}+2mx-2$
$y'={{x}^{2}}+2mx-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-m-\sqrt{{{m}^{2}}+2} \\
& x=-m+\sqrt{{{m}^{2}}+2} \\
\end{aligned} \right.$
Do $m\in \left( 0;\dfrac{5}{6} \right)$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& -m-\sqrt{{{m}^{2}}+2}<0 \\
& 0<-m+\sqrt{{{m}^{2}}+2}<2 \\
\end{aligned} \right.$
Và $\left\{ \begin{aligned}
& y(0)=-2m-\dfrac{1}{3}<0 \\
& y(2)=2m-\dfrac{5}{3}<0 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $y<0,\forall x\in (0;2)$
Vậy $S=4$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{\left| \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-2x-2m-\dfrac{1}{3}\left| dx=4 \right. \right.} \\
& \Leftrightarrow -\int\limits_{0}^{2}{\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-2x-2m-\dfrac{1}{3} \right)}dx=4 \\
& \Leftrightarrow \dfrac{4m+10}{3}=4\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}. \\
\end{aligned}$
Đáp án B.