Google
Câu hỏi: Cho hàm số: $y=\dfrac{1}{2}{{m}^{2}}{{x}^{5}}-\dfrac{1}{3}m{{x}^{3}}+10{{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-m-20 \right)x+1$. Tổng tất cả các giá trị thực của m để hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ bằng
A. $\dfrac{5}{2}$.
B. –2.
C. $\dfrac{1}{2}$.
D. $\dfrac{3}{2}$.
A. $\dfrac{5}{2}$.
B. –2.
C. $\dfrac{1}{2}$.
D. $\dfrac{3}{2}$.
Theo bài ra ta có: ${y}'\ge 0$, $\forall x\Leftrightarrow g\left( x \right)={{m}^{2}}{{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+20x-{{m}^{2}}+m+20\ge 0$, $\forall x$.
Ta có $g\left( x \right)=0$ có một nghiệm $x=-1$, do vậy để $g\left( x \right)\ge 0$, $\forall x$ thì trước tiên $g\left( x \right)$ không đổi dấu khi qua điểm $x=-1$, tức $g\left( x \right)=0$ có nghiệm kép
$x=-1\Leftrightarrow {g}'\left( -1 \right)=0\Leftrightarrow \left( 4{{m}^{2}}{{x}^{3}}-2mx+20 \right)\left| \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -4{{m}^{2}}+2m+20=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-2 \\
& m=\dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Với $m=-2\Leftrightarrow g\left( x \right)=4{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+20x+14=2{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( 2{{x}^{2}}-4x+7 \right)\ge 0$, $\forall x$ (thỏa mãn).
Với $m=\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow g\left( x \right)=\dfrac{25}{4}{{x}^{4}}-\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}+20x+\dfrac{65}{4}=\dfrac{5}{4}{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( 5{{x}^{2}}-10x+13 \right)\ge 0$, $\forall x$ (thỏa mãn).
Nên $S=-2+\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{2}$.
Ta có $g\left( x \right)=0$ có một nghiệm $x=-1$, do vậy để $g\left( x \right)\ge 0$, $\forall x$ thì trước tiên $g\left( x \right)$ không đổi dấu khi qua điểm $x=-1$, tức $g\left( x \right)=0$ có nghiệm kép
$x=-1\Leftrightarrow {g}'\left( -1 \right)=0\Leftrightarrow \left( 4{{m}^{2}}{{x}^{3}}-2mx+20 \right)\left| \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -4{{m}^{2}}+2m+20=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-2 \\
& m=\dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Với $m=-2\Leftrightarrow g\left( x \right)=4{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+20x+14=2{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( 2{{x}^{2}}-4x+7 \right)\ge 0$, $\forall x$ (thỏa mãn).
Với $m=\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow g\left( x \right)=\dfrac{25}{4}{{x}^{4}}-\dfrac{5}{2}{{x}^{2}}+20x+\dfrac{65}{4}=\dfrac{5}{4}{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( 5{{x}^{2}}-10x+13 \right)\ge 0$, $\forall x$ (thỏa mãn).
Nên $S=-2+\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{2}$.
Đáp án C.