Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{6}}+\left( 4+m \right){{x}^{5}}+\left( 16-{{m}^{2}} \right){{x}^{4}}+2.$ Gọi $S$ là tập hợp các giá trị $m$ nguyên dương để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x=0.$ Tính tổng giá trị các phần tử của $S$.
A. $10$.
B. $9$.
C. $6$.
D. $3$.
A. $10$.
B. $9$.
C. $6$.
D. $3$.
Ta có ${y}'=6{{x}^{5}}+5\left( 4+m \right){{x}^{4}}+4\left( 16-{{m}^{2}} \right){{x}^{3}}$ $={{x}^{3}}\left[ 6{{x}^{2}}+5\left( 4+m \right)x+4\left( 16-{{m}^{2}} \right) \right]$
${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}=0 \\
& 6{{x}^{2}}+5\left( 4+m \right)x+4\left( 16-{{m}^{2}} \right)=0 \left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Để $x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số thì ${y}'$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua nghiệm $x=0$.
Dễ thấy ${y}'$ đổi dấu qua $x=0$ thì $x=0$ là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của ${y}'$.
Vì ${{x}^{3}}=0$ có nghiệm $x=0$ là nghiệm bội lẻ nên để $x=0$ là nghiệm bội lẻ của ${y}'$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ xảy ra các khả năng sau:
TH1: PT $\left( 1 \right)$ vô nghiệm
Bảng xét dấu của ${y}'$
Từ bảng suy ra $x=0$ là điểm cực tiểu.
PT $\left( 1 \right)$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta <0$ $\Leftrightarrow 25{{\left( 4+m \right)}^{2}}-4.6.4\left( 16-{{m}^{2}} \right)<0$
$\Leftrightarrow \left( 4+m \right)\left( 121m-284 \right)<0$ $\Leftrightarrow -4<m<\dfrac{284}{121}$.
Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \left\{ 1; 2 \right\}$.
TH2: PT $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm trái dấu $\left( {{x}_{1}}<0<{{x}_{2}} \right)$
Bảng xét dấu của ${y}'$
Từ bảng suy ra $x=0$ là điểm cực đại của hàm số.
Suy ra TH này không xảy ra.
TH3: PT $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm cùng dấu ($\left[ \begin{aligned}
& 0<{{x}_{1}}\le {{x}_{2}} \\
& {{x}_{1}}\le {{x}_{2}}<0 \\
\end{aligned} \right.$)
Bảng xét dấu
Hoặc
Hoặc
Hoặc
Từ các bảng trên suy ra $x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số.
PT $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm cùng dấu
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta \ge 0 \\
& P>0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( 4+m \right)\left( 121m-284 \right)\ge 0 \\
& \dfrac{4\left( 16-{{m}^{2}} \right)}{6}>0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge \dfrac{284}{121} \\
& m\le -4 \\
\end{aligned} \right. \\
& -4<m<4 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \dfrac{284}{121}\le m<4$.
Vì $m$ nguyên dương nên $m=3$.
TH4: PT $\left( 1 \right)$ có nghiệm ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=0$.
Bảng xét dấu
Từ bảng suy ra $x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số.
PT $\left( 1 \right)$ có nghiệm ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta =0 \\
& S=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-4$ (không thỏa mãn).
Kết hợp các trường hợp ta được $S=\left\{ 1; 2; 3 \right\}$. Vậy tổng các giá trị của $m$ cần tìm là: $6$.
${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}=0 \\
& 6{{x}^{2}}+5\left( 4+m \right)x+4\left( 16-{{m}^{2}} \right)=0 \left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Để $x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số thì ${y}'$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua nghiệm $x=0$.
Dễ thấy ${y}'$ đổi dấu qua $x=0$ thì $x=0$ là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của ${y}'$.
Vì ${{x}^{3}}=0$ có nghiệm $x=0$ là nghiệm bội lẻ nên để $x=0$ là nghiệm bội lẻ của ${y}'$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ xảy ra các khả năng sau:
TH1: PT $\left( 1 \right)$ vô nghiệm
Bảng xét dấu của ${y}'$
Từ bảng suy ra $x=0$ là điểm cực tiểu.
PT $\left( 1 \right)$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta <0$ $\Leftrightarrow 25{{\left( 4+m \right)}^{2}}-4.6.4\left( 16-{{m}^{2}} \right)<0$
$\Leftrightarrow \left( 4+m \right)\left( 121m-284 \right)<0$ $\Leftrightarrow -4<m<\dfrac{284}{121}$.
Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \left\{ 1; 2 \right\}$.
TH2: PT $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm trái dấu $\left( {{x}_{1}}<0<{{x}_{2}} \right)$
Bảng xét dấu của ${y}'$
Từ bảng suy ra $x=0$ là điểm cực đại của hàm số.
Suy ra TH này không xảy ra.
TH3: PT $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm cùng dấu ($\left[ \begin{aligned}
& 0<{{x}_{1}}\le {{x}_{2}} \\
& {{x}_{1}}\le {{x}_{2}}<0 \\
\end{aligned} \right.$)
Bảng xét dấu
Hoặc
Hoặc
Hoặc
Từ các bảng trên suy ra $x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số.
PT $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm cùng dấu
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta \ge 0 \\
& P>0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( 4+m \right)\left( 121m-284 \right)\ge 0 \\
& \dfrac{4\left( 16-{{m}^{2}} \right)}{6}>0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge \dfrac{284}{121} \\
& m\le -4 \\
\end{aligned} \right. \\
& -4<m<4 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \dfrac{284}{121}\le m<4$.
Vì $m$ nguyên dương nên $m=3$.
TH4: PT $\left( 1 \right)$ có nghiệm ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=0$.
Bảng xét dấu
Từ bảng suy ra $x=0$ là điểm cực tiểu của hàm số.
PT $\left( 1 \right)$ có nghiệm ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta =0 \\
& S=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-4$ (không thỏa mãn).
Kết hợp các trường hợp ta được $S=\left\{ 1; 2; 3 \right\}$. Vậy tổng các giá trị của $m$ cần tìm là: $6$.
Đáp án D.