Cho hàm số $y={{x}^{6}}+\left( 4+m \right){{x}^{5}}+\left(...

Ta có

Để là điểm cực tiểu của hàm số thì đổi dấu từ âm sang dương khi qua nghiệm .
Dễ thấy đổi dấu qua thì là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của .
Vì có nghiệm là nghiệm bội lẻ nên để là nghiệm bội lẻ của thì phương trình xảy ra các khả năng sau:
TH1: PT vô nghiệm
Bảng xét dấu của


Từ bảng suy ra là điểm cực tiểu.
PT vô nghiệm
.
Vì nguyên dương nên .
TH2: PT có hai nghiệm trái dấu
Bảng xét dấu của

Từ bảng suy ra là điểm cực đại của hàm số.
Suy ra TH này không xảy ra.
TH3: PT có hai nghiệm cùng dấu ()
Bảng xét dấu


Hoặc

Hoặc

Hoặc

Từ các bảng trên suy ra là điểm cực tiểu của hàm số.
PT có hai nghiệm cùng dấu
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta \ge 0 \\
& P>0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( 4+m \right)\left( 121m-284 \right)\ge 0 \\
& \dfrac{4\left( 16-{{m}^{2}} \right)}{6}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \dfrac{284}{121}\le m<4mm=3\left( 1 \right){{x}_{1}}={{x}_{2}}=0 Từ bảng suy ra \)">x=0\left( 1 \right){{x}_{1}}={{x}_{2}}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta =0 \\
& S=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-4S=\left\{ 1; 2; 3 \right\}m6$.