Cho hàm số $y={{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+m-2$ với là tham số thực. Tìm...

Ta có ${y}'=4{{x}^{3}}-2mx=2x\left( 2{{x}^{2}}-m \right);{y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 2{{x}^{2}}=m \\
\end{aligned} \right..$
Để hàm số có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow m>0.$
Khi đó tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
$A\left( 0;m-2 \right),B\left( \sqrt{\dfrac{m}{2}},-\dfrac{{{m}^{2}}}{4}+m-2 \right),C\left( -\sqrt{\dfrac{m}{2}};-\dfrac{{{m}^{2}}}{4}+m-2 \right)$.
Suy ra $AB=AC=\sqrt{\dfrac{m}{2}+\dfrac{{{m}^{4}}}{16}}$, $BC=2\sqrt{\dfrac{m}{2}}$.
Ta có $S=pr=\dfrac{1}{2}BC.d\left[ A,BC \right]\xrightarrow{{}}\dfrac{AB+BC+AC}{2}.r=\dfrac{1}{2}BC.d\left[ A,BC \right]$
$\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{m}{2}+\dfrac{{{m}^{4}}}{16}}+\sqrt{\dfrac{m}{2}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{{{m}^{2}}}{4}.2\sqrt{\dfrac{m}{2}}$.
Đặt $t=\sqrt{\dfrac{m}{2}}>0$ ta được phương trình $\sqrt{{{t}^{2}}+{{t}^{8}}}+t={{t}^{5}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0\left( loại \right) \\
& t=\sqrt{2}\xrightarrow{{}}m=4 \\
\end{aligned} \right..$

Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị $ab<0\Leftrightarrow m>0.$
Ycbt $\xrightarrow{{}}\dfrac{{{b}^{2}}}{4\left| a \right|\left( 1+\sqrt{1-\dfrac{{{b}^{3}}}{8a}} \right)}=1\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( -m \right)}^{2}}}{4.\left( 1+\sqrt{1+{{\dfrac{m}{8}}^{3}}} \right)}=1\xrightarrow{{}}\left[ \begin{aligned}
& m=-2\left( lọai \right) \\
& m=4\left( thoả mãn \right) \\
\end{aligned} \right..$