Cho hàm số $y = x^{4} - m x^{2} + m - 2$ với là tham số thực. Tìm...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

y = x^{4} - m x^{2} + m - 2

với là tham số thực. Tìm giá trị của

m

để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng

1.

A.

m = - 2.

B.

m = 1.

C.

m = 2

D.

m = 4.

Ta có

y^{'} = 4 x^{3} - 2 m x = 2 x (2 x^{2} - m); y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = 0 \\ 2 x^{2} = m \end{aligned} .

Để hàm số có ba điểm cực trị

\Leftrightarrow m > 0.

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A (0; m - 2), B (\sqrt{\frac{m}{2}}, - \frac{m^{2}}{4} + m - 2), C (- \sqrt{\frac{m}{2}}; - \frac{m^{2}}{4} + m - 2)

.
Suy ra

A B = A C = \sqrt{\frac{m}{2} + \frac{m^{4}}{16}}

,

B C = 2 \sqrt{\frac{m}{2}}

.
Ta có

S = p r = \frac{1}{2} B C . d [A, B C] \overset{}{\to} \frac{A B + B C + A C}{2} . r = \frac{1}{2} B C . d [A, B C]

\Leftrightarrow \sqrt{\frac{m}{2} + \frac{m^{4}}{16}} + \sqrt{\frac{m}{2}} = \frac{1}{2} . \frac{m^{2}}{4} .2 \sqrt{\frac{m}{2}}

.
Đặt

t = \sqrt{\frac{m}{2}} > 0

ta được phương trình

\sqrt{t^{2} + t^{8}} + t = t^{5} \Leftrightarrow [\begin{aligned} t = 0 (l o ạ i) \\ t = \sqrt{2} \overset{}{\to} m = 4 \end{aligned} .

Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị

a b < 0 \Leftrightarrow m > 0.

Ycbt

\overset{}{\to} \frac{b^{2}}{4 | a | (1 + \sqrt{1 - \frac{b^{3}}{8 a}})} = 1 \Leftrightarrow \frac{{(- m)}^{2}}{4. (1 + \sqrt{1 + {\frac{m}{8}}^{3}})} = 1 \overset{}{\to} [\begin{aligned} m = - 2 (l ọ a i) \\ m = 4 (t h o ả m ã n) \end{aligned} .

Đáp án D.

Cho hàm số y=x4−mx2+m−2 với là tham số thực. Tìm...