Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=-{{x}^{4}}+m{{x}^{2}}$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ với tham số $m>0$. Giả sử $\left( {{C}_{m}} \right)$ cắt trục $Ox$ tại ba điểm như hình vẽ bên dưới:
Gọi ${{S}_{1}}$ và ${{S}_{2}}$ là diện tích các miền được giới hạn bởi đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ và trục $Ox$. Biết ${{m}_{0}}$ là giá trị để ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\dfrac{10\sqrt{5}}{3}$, hỏi ${{m}_{0}}$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( 15 ; 30 \right)$.
B. $\left( 5 ; 10 \right)$.
C. $\left( 0 ; 3 \right)$.
D. $\left( 2 ; 6 \right)$.
A. $\left( 15 ; 30 \right)$.
B. $\left( 5 ; 10 \right)$.
C. $\left( 0 ; 3 \right)$.
D. $\left( 2 ; 6 \right)$.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là $-x^{4}+m x^{2}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x^{2}=0 \\ x^{2}=m\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=\pm \sqrt{m}\end{array} .\right.\right.$
Do đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng nên $S_{1}=S_{2}$.
Ta có $S_{1}+S_{2}=\dfrac{10 \sqrt{5}}{3} \Leftrightarrow 2 S_{2}=\dfrac{10 \sqrt{5}}{3} \Leftrightarrow S_{2}=\dfrac{5 \sqrt{5}}{3}$.
Mà $S_{2}=\int_{0}^{\sqrt{m}}\left(-x^{4}+m x^{2}\right) d x=\left.\dfrac{5 \sqrt{5}}{3} \Leftrightarrow\left(-\dfrac{x^{5}}{5}+\dfrac{m x^{3}}{3}\right)\right|_{0} ^{\sqrt{m}}=\dfrac{5 \sqrt{5}}{3}$
$\Leftrightarrow-\dfrac{(\sqrt{m})^{5}}{5}+\dfrac{m(\sqrt{m})^{3}}{3}=\dfrac{5 \sqrt{5}}{3} \Leftrightarrow m^{\dfrac{5}{2}}=\dfrac{25 \sqrt{5}}{2} \Leftrightarrow m=\dfrac{5}{\sqrt[5]{4}} \approx 3,78 .$
Do đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng nên $S_{1}=S_{2}$.
Ta có $S_{1}+S_{2}=\dfrac{10 \sqrt{5}}{3} \Leftrightarrow 2 S_{2}=\dfrac{10 \sqrt{5}}{3} \Leftrightarrow S_{2}=\dfrac{5 \sqrt{5}}{3}$.
Mà $S_{2}=\int_{0}^{\sqrt{m}}\left(-x^{4}+m x^{2}\right) d x=\left.\dfrac{5 \sqrt{5}}{3} \Leftrightarrow\left(-\dfrac{x^{5}}{5}+\dfrac{m x^{3}}{3}\right)\right|_{0} ^{\sqrt{m}}=\dfrac{5 \sqrt{5}}{3}$
$\Leftrightarrow-\dfrac{(\sqrt{m})^{5}}{5}+\dfrac{m(\sqrt{m})^{3}}{3}=\dfrac{5 \sqrt{5}}{3} \Leftrightarrow m^{\dfrac{5}{2}}=\dfrac{25 \sqrt{5}}{2} \Leftrightarrow m=\dfrac{5}{\sqrt[5]{4}} \approx 3,78 .$
Đáp án D.