Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$, với m là tham số thực. Giả sử $\left( {{C}_{m}} \right)$ cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ. Gọi ${{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}}$ là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}={{S}_{3}}.$
A. $m=-\dfrac{5}{2}.$
B. $m=-\dfrac{5}{4}.$
C. $m=\dfrac{5}{2}.$
D. $m=\dfrac{5}{4}.$
A. $m=-\dfrac{5}{2}.$
B. $m=-\dfrac{5}{4}.$
C. $m=\dfrac{5}{2}.$
D. $m=\dfrac{5}{4}.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{S}_{3}}={{S}_{1}}+{{S}_{2}} \\
& {{S}_{1}}={{S}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \int\limits_{0}^{a}{\left| {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m \right|}dx=\int\limits_{a}^{b}{\left| {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m \right|dx}$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{a}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m \right)dx}=-\int\limits_{a}^{b}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m \right)}dx\Rightarrow \int\limits_{0}^{4}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m \right)dx}=0$
$\Rightarrow \left( \dfrac{{{x}^{5}}}{5}-{{x}^{3}}+mx \right)\left| _{\begin{smallmatrix}
\\
0
\end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix}
b \\
\end{smallmatrix}} \right.=0\Rightarrow \dfrac{{{b}^{5}}}{5}-{{b}^{3}}+mb=0\Rightarrow {{b}^{4}}-5{{b}^{2}}+5m=0.$
Mà ${{b}^{4}}-3{{b}^{2}}+m=0\Rightarrow m=3{{b}^{2}}-{{b}^{4}}\Rightarrow {{b}^{4}}-5{{b}^{2}}+5\left( 3{{b}^{2}}-{{b}^{4}} \right)=0$
$\Rightarrow 10{{b}^{2}}-4{{b}^{4}}=0\Rightarrow {{b}^{2}}=\dfrac{5}{2}\Rightarrow m=\dfrac{5}{4}.$
& {{S}_{3}}={{S}_{1}}+{{S}_{2}} \\
& {{S}_{1}}={{S}_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \int\limits_{0}^{a}{\left| {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m \right|}dx=\int\limits_{a}^{b}{\left| {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m \right|dx}$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{a}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m \right)dx}=-\int\limits_{a}^{b}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m \right)}dx\Rightarrow \int\limits_{0}^{4}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+m \right)dx}=0$
$\Rightarrow \left( \dfrac{{{x}^{5}}}{5}-{{x}^{3}}+mx \right)\left| _{\begin{smallmatrix}
\\
0
\end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix}
b \\
\end{smallmatrix}} \right.=0\Rightarrow \dfrac{{{b}^{5}}}{5}-{{b}^{3}}+mb=0\Rightarrow {{b}^{4}}-5{{b}^{2}}+5m=0.$
Mà ${{b}^{4}}-3{{b}^{2}}+m=0\Rightarrow m=3{{b}^{2}}-{{b}^{4}}\Rightarrow {{b}^{4}}-5{{b}^{2}}+5\left( 3{{b}^{2}}-{{b}^{4}} \right)=0$
$\Rightarrow 10{{b}^{2}}-4{{b}^{4}}=0\Rightarrow {{b}^{2}}=\dfrac{5}{2}\Rightarrow m=\dfrac{5}{4}.$
Đáp án D.