Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+1\left( 1 \right)$. Gọi S là...

$y'=4{{x}^{3}}-4mx=4x\left( {{x}^{2}}-m \right);y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=m \\
\end{aligned} \right.$
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi m > 0.
Gọi A(0; 1), $B\left( \sqrt{m};-{{m}^{2}}+1 \right),C\left( -\sqrt{m};-{{m}^{2}}+1 \right)$ là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1); khi đó tam giác $\Delta $ ABC cân tại A.
Gọi I là tâm đường tròn đi qua A, B, C khi đó $I\in Oy$ hay I(0; b).
Ta có $IA=R=1\Leftrightarrow 1-b=1\Leftrightarrow b=0$
$IB=R=1\Leftrightarrow m+{{m}^{4}}-2{{m}^{2}}+1=1$
$\Leftrightarrow {{m}^{4}}-2{{m}^{2}}+m=0$
$\Leftrightarrow m\left( m-1 \right)\left( {{m}^{2}}+m-1 \right)=0\Leftrightarrow m\in \left\{ 0;1;\dfrac{-1\pm \sqrt{5}}{2} \right\}$
Kết hợp điều kiện m > 0 nên loại 0 và $\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$.
Ta có ${{1}^{3}}+{{\left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)}^{3}}=-1+\sqrt{5}$