Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}$ có đồ thị $\left( S \right)$. Gọi $A, B, C$ là các điểm phân biệt trên (S)có tiếp tuyến với $\left( S \right)$ tại các điểm đó song song với nhau. Biết $A,B,C$ cùng nằm trên một parabol $(P)$ có đỉnh $I\left( \dfrac{1}{6};{{y}_{0}} \right)$. Tìm ${{y}_{0}}$ ?
A. $y{{~}_{0}}=~\dfrac{1}{6}$
B. $y{{~}_{0}}=-~\dfrac{1}{36}$
C. $y{{~}_{0}}=\dfrac{1}{36}$
D. $y{{~}_{0}}=~-\dfrac{1}{6}$
A. $y{{~}_{0}}=~\dfrac{1}{6}$
B. $y{{~}_{0}}=-~\dfrac{1}{36}$
C. $y{{~}_{0}}=\dfrac{1}{36}$
D. $y{{~}_{0}}=~-\dfrac{1}{6}$
Phương pháp:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm có hoành độ x= x $_{0}$ là k= y' (x $_{0}$ ) .
Cách giải:
$y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}\Rightarrow y'=4{{x}^{3}}-4x$
Giả sử các tiếp tuyến tại A,B,Ccó hệ số góc cùng bằng k⇒ $4{{x}^{3}}-4x=k$ (1) .
Ta có: ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}=\dfrac{1}{4}x\left( 4{{x}^{3}}-4x \right)-{{x}^{2}}=\dfrac{1}{4}xk-{{x}^{2}}$
Do đó ba điểm A,B,Cthuộc đồ thị hàm số y= $-{{x}^{2}}+\dfrac{1}{4}kx$ (P) .
Theo giả thiết (P)có đỉnh $I\left( \dfrac{1}{6}; {{y}_{0}} \right)$ nên $\dfrac{-\dfrac{1}{4}k}{2\left( -1 \right)}=\dfrac{1}{6}\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}k=-\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow k=\dfrac{4}{3}$
Khi đó (P) : $y=-{{x}^{2}}+\dfrac{1}{3}x$.
Vậy ${{y}_{0}}=y\left( \dfrac{1}{6} \right)=-{{\left( \dfrac{1}{6} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm có hoành độ x= x $_{0}$ là k= y' (x $_{0}$ ) .
Cách giải:
$y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}\Rightarrow y'=4{{x}^{3}}-4x$
Giả sử các tiếp tuyến tại A,B,Ccó hệ số góc cùng bằng k⇒ $4{{x}^{3}}-4x=k$ (1) .
Ta có: ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}=\dfrac{1}{4}x\left( 4{{x}^{3}}-4x \right)-{{x}^{2}}=\dfrac{1}{4}xk-{{x}^{2}}$
Do đó ba điểm A,B,Cthuộc đồ thị hàm số y= $-{{x}^{2}}+\dfrac{1}{4}kx$ (P) .
Theo giả thiết (P)có đỉnh $I\left( \dfrac{1}{6}; {{y}_{0}} \right)$ nên $\dfrac{-\dfrac{1}{4}k}{2\left( -1 \right)}=\dfrac{1}{6}\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}k=-\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow k=\dfrac{4}{3}$
Khi đó (P) : $y=-{{x}^{2}}+\dfrac{1}{3}x$.
Vậy ${{y}_{0}}=y\left( \dfrac{1}{6} \right)=-{{\left( \dfrac{1}{6} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$
Đáp án B.