Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}$...

Ta có $y'=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x=4x\left( {{x}^{2}}-m-1 \right)$ ; $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=m+1 \\
\end{aligned} \right.$.
Để hàm số có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow $ $y'=0$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1$.
Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
$A\left( 0;{{m}^{2}} \right),B\left( \sqrt{m+1};-2m-1 \right)$ và $C\left( -\sqrt{m+1};-2m-1 \right)$.
Khi đó $\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{m+1};-2m-1-{{m}^{2}} \right)$ và $\overrightarrow{AC}=\left( -\sqrt{m+1};-2m-1-{{m}^{2}} \right)$.
Ycbt $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow -\left( m+1 \right)+{{\left( m+1 \right)}^{4}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1\left( loa\ddot{i}i \right) \\
& m=0\left( tho\hat{u}a ma\tilde{o}n \right) \\
\end{aligned} \right..$
Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị $ab<0\Leftrightarrow m>-1.$
Ycbt $\xrightarrow{{}}8a+{{b}^{3}}=0\Leftrightarrow 8.1+{{\left[ -2\left( m+1 \right) \right]}^{3}}=0\Leftrightarrow m=0.$