Cho hàm số $y = x^{4} - 2 (m + 1) x^{2} + m^{2}$ ...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

y = x^{4} - 2 (m + 1) x^{2} + m^{2}

với

m

là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của

m

để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông.
A.

m = - 1

.
B.

m = 0

.
C.

m = 1

.
D.

m > - 1

.

Ta có

y^{'} = 4 x^{3} - 4 (m + 1) x = 4 x (x^{2} - m - 1)

;

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = 0 \\ x^{2} = m + 1 \end{aligned}

.
Để hàm số có ba điểm cực trị

\Leftrightarrow

y^{'} = 0

có ba nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1

.
Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A (0; m^{2}), B (\sqrt{m + 1}; - 2 m - 1)

và

C (- \sqrt{m + 1}; - 2 m - 1)

.
Khi đó

\vec{A B} = (\sqrt{m + 1}; - 2 m - 1 - m^{2})

và

\vec{A C} = (- \sqrt{m + 1}; - 2 m - 1 - m^{2})

.
Ycbt

\Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = 0 \Leftrightarrow - (m + 1) + {(m + 1)}^{4} = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} m = - 1 (l o a \ddot{i} i) \\ m = 0 (t h o \hat{u} a m a \tilde{o} n) \end{aligned} .

Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị

a b < 0 \Leftrightarrow m > - 1.

Ycbt

\overset{}{\to} 8 a + b^{3} = 0 \Leftrightarrow 8.1 + {[- 2 (m + 1)]}^{3} = 0 \Leftrightarrow m = 0.

Đáp án B.

Cho hàm số y=x4−2(m+1)x2+m2...