Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+mx+1$ có đồ thị (C) (với m là tham số). Biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất của (C) đi qua gốc tọa độ O. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $m\in \left[ -5;-3 \right).$
B. $m\in \left[ -3;0 \right).$
C. $m\in \left[ 0;3 \right).$
D. $m\in \left[ 3;5 \right].$
A. $m\in \left[ -5;-3 \right).$
B. $m\in \left[ -3;0 \right).$
C. $m\in \left[ 0;3 \right).$
D. $m\in \left[ 3;5 \right].$
Ta có ${y}'\left( {{x}_{0}} \right)=-3x_{0}^{2}+2m{{x}_{0}}+m=-3{{\left( {{x}_{0}}-\dfrac{m}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{{{m}^{2}}}{3}+m\le \dfrac{{{m}^{2}}}{3}+m.$
Dấu "=" đạt tại ${{x}_{0}}=\dfrac{m}{3}.$ Thay vào hàm số ta được ${{y}_{0}}=\dfrac{2{{m}^{3}}}{27}+\dfrac{{{m}^{2}}}{3}+1.$
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là
$d:y=\left( \dfrac{{{m}^{2}}}{3}+m \right)\left( x-\dfrac{m}{3} \right)+\dfrac{2{{m}^{3}}}{27}+\dfrac{{{m}^{2}}}{3}+1.$
Vì đi qua $O\left( 0;0 \right)$ nên $0=\left( \dfrac{{{m}^{2}}}{3}+m \right)\left( -\dfrac{m}{3} \right)+\dfrac{2{{m}^{3}}}{27}+\dfrac{{{m}^{2}}}{3}+1\Leftrightarrow \dfrac{{{m}^{3}}}{27}=1\Leftrightarrow m=3.$
Dấu "=" đạt tại ${{x}_{0}}=\dfrac{m}{3}.$ Thay vào hàm số ta được ${{y}_{0}}=\dfrac{2{{m}^{3}}}{27}+\dfrac{{{m}^{2}}}{3}+1.$
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là
$d:y=\left( \dfrac{{{m}^{2}}}{3}+m \right)\left( x-\dfrac{m}{3} \right)+\dfrac{2{{m}^{3}}}{27}+\dfrac{{{m}^{2}}}{3}+1.$
Vì đi qua $O\left( 0;0 \right)$ nên $0=\left( \dfrac{{{m}^{2}}}{3}+m \right)\left( -\dfrac{m}{3} \right)+\dfrac{2{{m}^{3}}}{27}+\dfrac{{{m}^{2}}}{3}+1\Leftrightarrow \dfrac{{{m}^{3}}}{27}=1\Leftrightarrow m=3.$
Đáp án D.