Cho hàm số $y = - x^{3} + m x^{2} + m x + 1$ có đồ thị (C) (với m là...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = - x^{3} + m x^{2} + m x + 1

có đồ thị (C) (với m là tham số). Biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất của (C) đi qua gốc tọa độ O. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

m \in [- 5; - 3) .

B.

m \in [- 3; 0) .

C.

m \in [0; 3) .

D.

m \in [3; 5] .

Ta có

y^{'} (x_{0}) = - 3 x_{0}^{2} + 2 m x_{0} + m = - 3 {(x_{0} - \frac{m}{3})}^{2} + \frac{m^{2}}{3} + m \leq \frac{m^{2}}{3} + m .

Dấu "=" đạt tại

x_{0} = \frac{m}{3} .

Thay vào hàm số ta được

y_{0} = \frac{2 m^{3}}{27} + \frac{m^{2}}{3} + 1.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm

M (x_{0}; y_{0})

là

d : y = (\frac{m^{2}}{3} + m) (x - \frac{m}{3}) + \frac{2 m^{3}}{27} + \frac{m^{2}}{3} + 1.

Vì đi qua

O (0; 0)

nên

0 = (\frac{m^{2}}{3} + m) (- \frac{m}{3}) + \frac{2 m^{3}}{27} + \frac{m^{2}}{3} + 1 \Leftrightarrow \frac{m^{3}}{27} = 1 \Leftrightarrow m = 3.

Đáp án D.

Cho hàm số y=−x3+mx2+mx+1 có đồ thị (C) (với m là...