Cho hàm số $y={{x}^{3}}-\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+\left( m+1...

+ Ta có: $y=\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2mx+1-m \right).$
+ Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi và chỉ khi đồ thị y cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt $\Leftrightarrow y=\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2mx+1-m \right)=0$ có ba nghiệm phân biệt.
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+1-m=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 1.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \\
& \\
& {{m}^{2}}+m-1>0 \\
& 2-3m\ne 0 \\
& \\
& \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m<\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \\
& m>\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& m\ne \dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right..$
+ Do $m\in \Nu ,m<20$ nên $1\le m<20$. Vậy có 19 số tự nhiên thỏa mãn bài toán.